Advanced

Numerisk lösning av optimala styrningsproblem med Bryson-Kelley metodik

Gustavsson, Ivar (1966) In MSc Theses
Department of Automatic Control
Abstract
Det problem, som skall behandlas här, ligger inom det område av regleringtekniken, som kallas optimeringteori. Detta är ett mycket vidsträckt område med stor praktisk betydelse. Det gäller ju ofta att maximera eller minimera en viss storhet, och detta oftast då samtidigt som vi måste införa begränsningar av olika slag för andra storheter. <br>Optimala styrningsproblem uppkommer i samband med processer, där det gäller att bestämma en eller flera styrvariabler, så att vissa slutvillkor blir uppfyllda. Problemet är alltså att bland alla möjliga styrprogram välja ut det, som minimerar (eller maximerar) en viss storhet, medan samtidigt andra storheter antar vissa givna värden vid slutpunkten. Vi vill till exempel minimera tiden för ett projekt,... (More)
Det problem, som skall behandlas här, ligger inom det område av regleringtekniken, som kallas optimeringteori. Detta är ett mycket vidsträckt område med stor praktisk betydelse. Det gäller ju ofta att maximera eller minimera en viss storhet, och detta oftast då samtidigt som vi måste införa begränsningar av olika slag för andra storheter. <br>Optimala styrningsproblem uppkommer i samband med processer, där det gäller att bestämma en eller flera styrvariabler, så att vissa slutvillkor blir uppfyllda. Problemet är alltså att bland alla möjliga styrprogram välja ut det, som minimerar (eller maximerar) en viss storhet, medan samtidigt andra storheter antar vissa givna värden vid slutpunkten. Vi vill till exempel minimera tiden för ett projekt, då vi har begränsad tillgång på kapital och arbetskraft. <br>Klassiskt användes variationskalkyl för lösning av sådana problem. Men endast relativt enkla problem kunde lösas på detta sätt. Även med snabba datamaskiner står man inför en besvärlig uppgift, då dessa problem i regel i sin klassiska formulering utgör ett randvärdesproblem för olineära, ordinära differentialekvationer, där en del randvärlden är givna som initialvärden och en del som slutvärden ("two-point boundary problem"). För numerisk lösning krävs att man gör en god gissning av de initialvärden som saknas, integrerar differentialekvationerna numeriskt till sluttidpunkten, jämför de erhållna slutvillkoren med de givna och sedan försöker göra en bättre gissning av de saknade initialvärdena. Detta måste uppreoas tills alla slutvillkor är uppfyllda. Denna metod är besvärlig och fungerar i vissa fall inte alls. Den är t.ex. känslig även för små ändringar i begynnelsevillkoren. <br>Andra metoder att komma till rätta med dessa svårigheter har under senare år framkommit. Det finns i huvudsak två olika metoder, dynamisk programmering samt de metoder som bygger på Pontryagins maximiprincip och går ut på att med successiva approximationer nå den optimala lösningen. Pontryagins maximiprincip ger dessutom möjlighet att direkt införa begränsningar på styrvariablerna, något som inte är möjligt vid klassisk lösning med variationskalkyl. <br>Bland metoderna med successiva approximationer märks speciellt två, dels den där iteration sker på randvillkoren och dels den där iteration sker i rummet av styrsignaler. Vi skall här begränsa oss till den sistnämnda, den s.k. Bryson-Kelley-metoden. Redan nu kan sägas att den i huvudsak bygger på att vi gissar en styrsignal och sedan successivt förbättrar denn styrsignal så att vi hela tiden närmar oss den optimala lösningen. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
Gustavsson, Ivar
supervisor
organization
year
type
H3 - Professional qualifications (4 Years - )
subject
publication/series
MSc Theses
report number
TFRT-5007
ISSN
0346-5500
language
Swedish
id
8851066
date added to LUP
2016-03-30 14:06:03
date last changed
2016-03-30 14:06:03
@misc{8851066,
  abstract     = {Det problem, som skall behandlas här, ligger inom det område av regleringtekniken, som kallas optimeringteori. Detta är ett mycket vidsträckt område med stor praktisk betydelse. Det gäller ju ofta att maximera eller minimera en viss storhet, och detta oftast då samtidigt som vi måste införa begränsningar av olika slag för andra storheter. <br>Optimala styrningsproblem uppkommer i samband med processer, där det gäller att bestämma en eller flera styrvariabler, så att vissa slutvillkor blir uppfyllda. Problemet är alltså att bland alla möjliga styrprogram välja ut det, som minimerar (eller maximerar) en viss storhet, medan samtidigt andra storheter antar vissa givna värden vid slutpunkten. Vi vill till exempel minimera tiden för ett projekt, då vi har begränsad tillgång på kapital och arbetskraft. <br>Klassiskt användes variationskalkyl för lösning av sådana problem. Men endast relativt enkla problem kunde lösas på detta sätt. Även med snabba datamaskiner står man inför en besvärlig uppgift, då dessa problem i regel i sin klassiska formulering utgör ett randvärdesproblem för olineära, ordinära differentialekvationer, där en del randvärlden är givna som initialvärden och en del som slutvärden ("two-point boundary problem"). För numerisk lösning krävs att man gör en god gissning av de initialvärden som saknas, integrerar differentialekvationerna numeriskt till sluttidpunkten, jämför de erhållna slutvillkoren med de givna och sedan försöker göra en bättre gissning av de saknade initialvärdena. Detta måste uppreoas tills alla slutvillkor är uppfyllda. Denna metod är besvärlig och fungerar i vissa fall inte alls. Den är t.ex. känslig även för små ändringar i begynnelsevillkoren. <br>Andra metoder att komma till rätta med dessa svårigheter har under senare år framkommit. Det finns i huvudsak två olika metoder, dynamisk programmering samt de metoder som bygger på Pontryagins maximiprincip och går ut på att med successiva approximationer nå den optimala lösningen. Pontryagins maximiprincip ger dessutom möjlighet att direkt införa begränsningar på styrvariablerna, något som inte är möjligt vid klassisk lösning med variationskalkyl. <br>Bland metoderna med successiva approximationer märks speciellt två, dels den där iteration sker på randvillkoren och dels den där iteration sker i rummet av styrsignaler. Vi skall här begränsa oss till den sistnämnda, den s.k. Bryson-Kelley-metoden. Redan nu kan sägas att den i huvudsak bygger på att vi gissar en styrsignal och sedan successivt förbättrar denn styrsignal så att vi hela tiden närmar oss den optimala lösningen.},
  author       = {Gustavsson, Ivar},
  issn         = {0346-5500},
  language     = {swe},
  note         = {Student Paper},
  series       = {MSc Theses},
  title        = {Numerisk lösning av optimala styrningsproblem med Bryson-Kelley metodik},
  year         = {1966},
}