Chaotic Properties of the Discretised Φ^4-potential

Abstract

Research has been conducted on integrable, Newtonian systems by B. Söderberg amongst others. Scientists uses the Hamiltonian energy landscape to simulate such systems by discretising the continuum. Non-integrable systems, however, show chaotic properties, when the Hamiltonian is not conserved along phase space trajectories. Therefore, simulations may diverge over time.
This thesis explores one particular non-integrable system, Newtonian motion in the one-dimensional scalar Φ^4-potential. The system is simulated over a lattice in a way equivalent to the discretisation of the continuum using the Leapfrog method. This system is shown to display chaotic properties, as expected from theory. Another interesting case is being put forward from the results of simulations, namely that this system displays a fractal structure. Elliptic and hyperbolic points are created along certain trajectories in phase space, around which this fractal structure seems to emerge.
Attempts were made to find a contour of convergence, inside which no trajectory diverge, but those proved fruitless. The thesis also discusses the main idea behind conserved quantities in discrete systems labelled as "shadow Hamiltonians". These are variations of the Hamiltonian and are conserved when the Hamiltonian is not.

Popular Abstract (Swedish)

Partiklar i universum, också här på jorden, rör sig på grund av krafter som uppkommer ur egenskaper hos materien runt om oss. Föremål som fotbollar, löv och cyklister faller till marken på grund av gravitation, egenskapen att materia attraherar genom att ha en massa. Stålfjädrar kan dra ihop och trycka isär föremål på grund av krafter i materialet.
Dessa krafter kommer ur potentialer som dikterar hur mycket energi ett föremål har i en viss punkt. Dessa potentialer kan se väldigt olika ut. Ju längre bort från jorden en himlakropp befinner sig, desto mindre påverkar jordens gravitationsfält denna, medan ett föremål på en fjäder dras kraftigare in mot fjädern, ju längre utsträckt denna är.
Forskare som vill konstruera modeller för partikelrörelser måste ta hänsyn till alla dessa krafter och hitta noggranna sätt att simulera rörelser i olika potentialer. En dator måste dela upp problemet som simuleras i korta steg, och forskare måste då hitta simuleringsmetoder som ger minimal avvikelse.
I den här rapporten undersöks en särskild potential, den så kallade Φ^4-potentialen som ser ut som en djup grop med en liten kulle i botten. Denna potential visar sig ge upphov till kaotisk rörelse, d.v.s. rörelsemönster som inte går att förutsäga på samma sätt som exempelvis kastbanan för en boll i en gravitationspotential.
I undersökningen av denna potential har världen som rörelser sker i delats upp på ett speciellt sätt (diskretiseras) så att en dator kan utföra beräkningar på systemet. Den uppdelning som har gjorts resulterar i att speciella punkter, cykelpunkter, bildas enligt ett visst mönster, en fraktal. En fraktal innebär att då systemet plottas med högre upplösning, så liknar det sig själv även om bilden zoomas in. Detta är inte helt väntat och är av intresse för att bättre förstå system av den här sorten, som utvecklar sig enligt Φ^4-potentialen.

• author: Lundberg, Torbjörn
• supervisor: Bo Söderberg
• organization: Department of Astronomy and Theoretical Physics - Undergoing reorganization
• course: FYTK02 20171
• year: 2017
• type: M2 - Bachelor Degree
• subject: Physics and Astronomy
• keywords: Chaos, chaotic behavior, discretisation, discretization, Phi, phi4, phi^4, scalar potential, Hamiltonian system, Newtonian system, particle movement, trajectory, fractal
• publication/series: LUP
• language: English
• id: 8921799
• date added to LUP: 2017-07-17 11:57:54
• date last changed: 2017-07-17 11:57:54