Advanced

A Fourier approach to valuating derivative assets

Rasmusson, Oskar (2018) FMS820 20181
Mathematical Statistics
Abstract
This paper valuates two different financial contracts, the European Call and the Spread
option using the Fourier transform. In the European Call case the underlying asset
is modelled by the geometric Brownian motion stochastic differential equation. All
necessary conditions in order for the transform to exists are examined and it turns out
that the payoff needs to be scaled by an exponential factor which includes a constant
a where a < 0. Later an optimization problem is defined in order to find the a which
yields the best numeric integration. At the end the Fourier method is compared against
the Black Scholes formula yielding a difference with 10 −15 in magnitude.
In the Spread option case the underlying assets are modelled by a... (More)
This paper valuates two different financial contracts, the European Call and the Spread
option using the Fourier transform. In the European Call case the underlying asset
is modelled by the geometric Brownian motion stochastic differential equation. All
necessary conditions in order for the transform to exists are examined and it turns out
that the payoff needs to be scaled by an exponential factor which includes a constant
a where a < 0. Later an optimization problem is defined in order to find the a which
yields the best numeric integration. At the end the Fourier method is compared against
the Black Scholes formula yielding a difference with 10 −15 in magnitude.
In the Spread option case the underlying assets are modelled by a two-dimensional
Heston model with three volatilities, one for each asset and one for how they effect
each other. Here the payoff need to be scaled by two different exponential factors each
including one constant, call them a and b where a < 0 and b < 0. Again an optimization
problem is defined in order to find the a,b which yields the best numeric integration.
The Fourier method for this case is compared against a Monte Carlo simulation with
and without a control variate. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
Rasmusson, Oskar
supervisor
organization
course
FMS820 20181
year
type
H2 - Master's Degree (Two Years)
subject
keywords
Kan man använda Fouriertransform för att värdera finansiella kontrakt? Det här arbetet undersöker två olika kontrakt och visar på hur Fouriertransformation kan användas inom värdering av derivat. Säg att du är intresserad av att handla en till- gång S någon gång i framtiden. Du och en säl- jare diskuterar och kommer överens om att du kan få lov att köpa, men inte skyldig, S vid tiden T till ett pris K. Det betyder att i framtiden vid tiden T kan du eventuellt göra en vinst S T − K om du väljer att köpa. Men om det visar sig att S T − K < 0 då vill du inte köpa, eftersom det skulle innebära en förlust. Du är endast in- tresserad att köpa då du kan göra vinst. Därav skulle man kunna beteckna den framtida vinsten som max(S T −K, 0). Ur säljaren synpunkt så vill han också kunna ha möjlighet att göra en bra affär. Så säljaren ger inte dig kontraktet gratis, utan han vill ha betalt idag en summa beteck- nad med Π, för kontrakt, dvs kontraktets pris. Den naturliga frågan blir, vilket värde ska Π ha för att bägge parter ska känna sig nöjda? Denna fråga besvarar arbetet med hjälp av att använda Fourier transformation. Fourier transformation är i sig ett matematisk verktyg för att överföra ett problem från ett språk till ett annat. Ett an- nat sätt att beskriva det på, skulle kunna vara följande scenario. Ett brev på ett främmande språk erhålls, med hjälp av Google translate över- sätts språket till svenska, vi kan nu förstå med- delandet. Vi skriver ner ett svar på svenska och Google translate översätter sedan tillbaka det till ursprungliga språket. Fourier transformation kan ses som matematikens Google translate. Där finns dock ett pris man får betala för denna typen av översättning fram och tillbaka. Det dycker upp ett minimeringsproblem man tvingas lösa. Efter en hel del långa uträkningar kan priset bestäm- mas så att både köpare och säljare blir nöjda. Det pris som tas fram med Fourier metoden jäm- förs också med en annan välkänd metod, för att bedömma dess noggrannhet. Det visar sig att Fourier metoder är väldigt noggrann och stäm- mer bra överens med den andra metoden. Efter att ha undersökt det enkla kontraktet utvecklas metod till ett mer avancerat kontrakt. Dår den framtida vinsten ges av max(S 1 − S 2 − K), här finns det alltså två olika tillgångar. Här får då Fourier transformation appliceras i två steg, i ter- mer av vårt vardagliga exempel språk 1 → språk 2 → svenska istället för språk 1 → svenska direkt. Därefter är proceduren snarlik, priset man får be- tala blir ett minimeringsproblem, denna gången av två variabler istället för en. Återigen jämförs metoden med annan typ av metod, i detta fallet en metod som simulerar mha en dator de två till- gångarna S 1 och S 2 . Även i detta fall stämmer Fourier metoden väldigt bra överens med den an- dra standard metoder.
language
Swedish
id
8958445
date added to LUP
2018-09-11 11:58:54
date last changed
2018-09-11 11:58:54
@misc{8958445,
  abstract     = {This paper valuates two different financial contracts, the European Call and the Spread
option using the Fourier transform. In the European Call case the underlying asset
is modelled by the geometric Brownian motion stochastic differential equation. All
necessary conditions in order for the transform to exists are examined and it turns out
that the payoff needs to be scaled by an exponential factor which includes a constant
a where a < 0. Later an optimization problem is defined in order to find the a which
yields the best numeric integration. At the end the Fourier method is compared against
the Black Scholes formula yielding a difference with 10 −15 in magnitude.
In the Spread option case the underlying assets are modelled by a two-dimensional
Heston model with three volatilities, one for each asset and one for how they effect
each other. Here the payoff need to be scaled by two different exponential factors each
including one constant, call them a and b where a < 0 and b < 0. Again an optimization
problem is defined in order to find the a,b which yields the best numeric integration.
The Fourier method for this case is compared against a Monte Carlo simulation with
and without a control variate.},
  author       = {Rasmusson, Oskar},
  keyword      = {Kan man använda Fouriertransform för att värdera finansiella kontrakt? Det här arbetet undersöker två olika kontrakt och visar på hur Fouriertransformation kan användas inom värdering av derivat. Säg att du är intresserad av att handla en till- gång S någon gång i framtiden. Du och en säl- jare diskuterar och kommer överens om att du kan få lov att köpa,men inte skyldig,S vid tiden T till ett pris K. Det betyder att i framtiden vid tiden T kan du eventuellt göra en vinst S T − K om du väljer att köpa. Men om det visar sig att S T − K < 0 då vill du inte köpa,eftersom det skulle innebära en förlust. Du är endast in- tresserad att köpa då du kan göra vinst. Därav skulle man kunna beteckna den framtida vinsten som max(S T −K,0). Ur säljaren synpunkt så vill han också kunna ha möjlighet att göra en bra affär. Så säljaren ger inte dig kontraktet gratis,utan han vill ha betalt idag en summa beteck- nad med Π,för kontrakt,dvs kontraktets pris. Den naturliga frågan blir,vilket värde ska Π ha för att bägge parter ska känna sig nöjda? Denna fråga besvarar arbetet med hjälp av att använda Fourier transformation. Fourier transformation är i sig ett matematisk verktyg för att överföra ett problem från ett språk till ett annat. Ett an- nat sätt att beskriva det på,skulle kunna vara följande scenario. Ett brev på ett främmande språk erhålls,med hjälp av Google translate över- sätts språket till svenska,vi kan nu förstå med- delandet. Vi skriver ner ett svar på svenska och Google translate översätter sedan tillbaka det till ursprungliga språket. Fourier transformation kan ses som matematikens Google translate. Där finns dock ett pris man får betala för denna typen av översättning fram och tillbaka. Det dycker upp ett minimeringsproblem man tvingas lösa. Efter en hel del långa uträkningar kan priset bestäm- mas så att både köpare och säljare blir nöjda. Det pris som tas fram med Fourier metoden jäm- förs också med en annan välkänd metod,för att bedömma dess noggrannhet. Det visar sig att Fourier metoder är väldigt noggrann och stäm- mer bra överens med den andra metoden. Efter att ha undersökt det enkla kontraktet utvecklas metod till ett mer avancerat kontrakt. Dår den framtida vinsten ges av max(S 1 − S 2 − K),här finns det alltså två olika tillgångar. Här får då Fourier transformation appliceras i två steg,i ter- mer av vårt vardagliga exempel språk 1 → språk 2 → svenska istället för språk 1 → svenska direkt. Därefter är proceduren snarlik,priset man får be- tala blir ett minimeringsproblem,denna gången av två variabler istället för en. Återigen jämförs metoden med annan typ av metod,i detta fallet en metod som simulerar mha en dator de två till- gångarna S 1 och S 2 . Även i detta fall stämmer Fourier metoden väldigt bra överens med den an- dra standard metoder.},
  language     = {swe},
  note         = {Student Paper},
  title        = {A Fourier approach to valuating derivative assets},
  year         = {2018},
}