Effects of Time Dependent Hull-White Parameters on Bermudan Swaptions

Abstract

This Master’s Thesis showcases two new time dependent calibration methods for the mean reversion parameter in the one-factor Hull-White model and evaluates their performance by hedging of a Bermudan swaption. The model is calibrated to market-implied swaption volatilities using a time-varying volatility approach. Particular emphasis is placed on a rigorous mathematical derivation of the model and its theoretical framework. Bermudan swaptions are used for model evaluation, with a trinomial tree implemented to compute prices and call probabilities. All calibration methods achieve negligible pricing errors and yield similar pricing and probability outcomes. Typical Bermudan behaviour is observed during hedging with respect to Vega and Yield Delta. Introducing time-dependent mean reversion adds notable
mathematical complexity and increases hedge variability. Sensitivity analysis reveals that swaption prices are more responsive to changes in the volatility parameter than to changes in the mean reversion, especially prior to the first
reset date. Furthermore, call probabilities rise with increased Hull-White volatility, reinforcing the critical role of accurate calibration. Overall, the findings suggest that the added flexibility of time-dependent mean reversion
calibration provides limited practical benefits and may introduce unnecessary hedge variability.

Popular Abstract (Swedish)

De flesta betalar nog ränta på ett eller annat sätt, kanske genom ett bolån eller ett kreditkort. Många tror nog att det är banken som sätter räntan, men i själva verket är den resultatet av ett komplext, dynamiskt och slumpmässigt system. Idag finns dessutom ränteprodukter som gör det möjligt att binda räntan flera gånger om året. Dessa produkter handlas så pass sällan, och till så stora belopp, att de knappt syns på marknaden. Hur ska man då kunna modellera räntan för att räkna ut priset på en sådan produkt?

Räntans historia sträcker sig över 4000 år tillbaka i tiden, och under den tiden har en mängd räntebaserade finansiella produkter vuxit fram. En sådan är ränteswappen, ett avtal där köpare och säljare byter rörlig mot fast ränta. Andra vanliga produkter är optioner på ränteswappar, eller swaptioner, där man får bestämma om man vill ingå i en ränteswap eller inte på ett förutbestämt datum. Att prissätta en swaption är inte helt enkelt. Tänk dig själv, hur mycket är det värt att, om två år, få välja om du vill byta din rörliga bolåneränta mot en fast ränta? Det beror såklart på om du tror att räntan kommer gå upp eller ner.

En särskilt intressant ränteprodukt, är den Bermudanska ränteswaptionen, där köparen inte bara har ett utan flera förutbestämda tillfällen att byta till fast ränta. Eftersom dessa produkter handlas till mycket stora summor är det viktigt att sätta rätt pris. För att göra det krävs en matematisk modell av hur räntan kan förändras i framtiden. Det handlar inte om att exakt förutsäga vad räntan kommer bli, utan snarare om att modellera dess sannolikhetsfördelning. I arbetet har vi använt en så kallad Hull-White-modell, där räntan rör sig enligt en slumpmässig Brownsk rörelse, men på lång sikt drar sig tillbaka mot ett genomsnitt. Detta är en viktig skillnad jämfört med vissa aktiemodeller, där man antar att priset kan stiga obegränsat.

Hull-White modellen har två parametrar som bestämmer hur sannolikhetsfördelningen kommer se ut. En parameter gör att räntan dras tillbaka mot ett medelvärde, medan den andra styr hur mycket den kan svänga. I uppsatsen tittar vi på vad som händer om man låter parametrarna förändras över tid, vilket innebär att räntan ibland är stabil och ibland volatil. Det gör modellen mer realistisk men också mer komplex. Hur man väljer att göra detta påverkar vilket pris man får på ränteswaptionen. Därför genomfördes en rad tester för att se vilken metod som gav bäst resultat. Samtidigt är det väldigt svårt att anpassa en fullt tidsberoende parameter, eftersom man då behöver bestämma ett värde för varje tidpunkt i framtiden, vilket leder till ett oändligt antal värden att kalibrera. För att förenkla detta antog vi istället att parametrarna bara ändrar sig var tredje månad. Det gjorde att vi kunde visa att man, med hjälp av data från vanliga ränteswaptioner, kan göra rimliga uppskattningar av vad parametrarna bör vara.

Vi kunde visa att det är möjligt att använda tidsberoende parametrar för att räkna ut ett rimligt pris på Bermudanska swaptioner. Samtidigt visade resultaten att prissättningen blir i princip lika bra om man antar att parametrarna är konstanta över tid. Detta är spännande eftersom den enklare modellen gav mer stabila resultat, något som underlättar för den som säljer en Bermudansk swaption att skydda sig mot stora förluster.

• author: von Ekensteen Löfgren, Linus and Wennerklint, Ebba
• supervisor: Magnus Wiktorsson
• organization: Mathematical Statistics
• course: FMSM01 20251
• year: 2025
• type: H2 - Master's Degree (Two Years)
• subject: Mathematics and Statistics
• keywords: Interest rate model, Hull-White, Bermudan swaptions, Mean reversion, Trinomial tree, Swaption pricing, Gaussian one-factor model, Short rate modelling, Parameter calibration, Hedging, Call probability
• publication/series: Master's Thesis in Mathematical Sciences
• report number: LUTFMS-3521--2025
• ISSN: 1404-6342
• other publication id: 2025:E46
• language: English
• id: 9193523
• date added to LUP: 2025-06-09 10:27:55
• date last changed: 2025-06-12 09:36:58