A study on the Green’s function for the Klein-Gordon equation
(2025) In Bachelor's Theses in Mathematical Sciences FMAL01 20251Mathematics (Faculty of Engineering)
- Abstract
- This paper explores the Klein-Gordon equation, a relativistic wave equation. More specifically, it studies the free form of the equation, where the potential is set to zero. The partial differential equation, together with initial conditions, forms an initial value problem. The first goal of the paper is to derive the Green's function for the problem. This is done in several ways, using spectral theory, double transforms, and a domain mapping approach. The Green's function is then validated, checking that it fulfills the differential equation and the initial condition. The authors then turn to asymptotic analysis, deriving a formula for the asymptotic behavior of the resulting Bessel function. Lastly, the asymptotic characteristics are... (More)
- This paper explores the Klein-Gordon equation, a relativistic wave equation. More specifically, it studies the free form of the equation, where the potential is set to zero. The partial differential equation, together with initial conditions, forms an initial value problem. The first goal of the paper is to derive the Green's function for the problem. This is done in several ways, using spectral theory, double transforms, and a domain mapping approach. The Green's function is then validated, checking that it fulfills the differential equation and the initial condition. The authors then turn to asymptotic analysis, deriving a formula for the asymptotic behavior of the resulting Bessel function. Lastly, the asymptotic characteristics are confirmed using numerical analysis. (Less)
- Popular Abstract (Swedish)
- I uppsatsen undersöker vi hur ett system styrt av Klein-Gordon-ekvationen beter sig under en punktpåverkan. Detta är den enklaste typen av påverkan och med hjälp av denna kunskap kan man dra slutsatser om systemets beteende för mer generalla fall av påverkan.
Kvantfysiken beskriver de mest fundamentala byggstenarna av vårt universum, subatomära partiklar. Dessa är, som namnet tyder på, mindre än atomen, och är vad som bygger upp både materia såväl som universella krafter. Kvantfältteori är den matematiska teori som beskriver dessa partiklar och deras interaktioner. Matematiken är komplex, men ändå logiskt härledd och det är med en häpnadsväckande ackuratess man kan beskriva agerandet och samspelet mellan partiklar. Det leder nästan till... (More) - I uppsatsen undersöker vi hur ett system styrt av Klein-Gordon-ekvationen beter sig under en punktpåverkan. Detta är den enklaste typen av påverkan och med hjälp av denna kunskap kan man dra slutsatser om systemets beteende för mer generalla fall av påverkan.
Kvantfysiken beskriver de mest fundamentala byggstenarna av vårt universum, subatomära partiklar. Dessa är, som namnet tyder på, mindre än atomen, och är vad som bygger upp både materia såväl som universella krafter. Kvantfältteori är den matematiska teori som beskriver dessa partiklar och deras interaktioner. Matematiken är komplex, men ändå logiskt härledd och det är med en häpnadsväckande ackuratess man kan beskriva agerandet och samspelet mellan partiklar. Det leder nästan till frågan om matematiken är ett verktyg som uppfinns eller en djupare verklighet som stegvis upptäcks. Nåväl, detta arbete behandlar inte filosofi, och emellertid inte fysiken i sig heller, utan istället riktar vi in oss på en liten del av matematiken inom fältteorin, nämligen Klein-Gordon-ekvationen.
Klein-Gordon-ekvationen kan ses som ett steg på vägen till en mer komplett beskrivning av partiklar, då den inte tar hänsyn till spin, en fundamental egenskap som återfinns hos bland annat elektroner. Däremot är det en komplett beskrivning av partiklar utan spin, såsom Higgsbosonen som väckte stor uppståndelse 2012 då man bekräftade dess existens med hjälp av partikelacceleratorn i CERN. Ekvationen är en så kallad partiell differentialekvation; en matematisk ekvation som beskriver hur något förändras i både tid och rum, till exempel hur värme sprider sig i ett föremål eller hur vågor rör sig på vatten. När man letar efter en lösning till en sådan ekvation, vill man hitta en funktion som uppfyller vissa rumsliga och tidsbaserade krav. Som man kanske kan ana blir det genast en mycket svår uppgift att hitta en sådan funktion, och det finns ingen universal analytisk lösningsmetod, det vill säga en metod som kommer fram till den exakta lösningen utan någon slags uppskattning. Däremot finns det generaliserade metoder som går att tillämpa på olika klasser av differentialekvationer, till exempel vågekvationer och utbredningsekvationer (exempelvis värme eller vätskekoncentration). Klein-Gordon-ekvationen är en typ av vågekvation, och när vi har härlett en speciell typ av lösning till denna har vi grundat oss i några av de metoder man använder för generella vågekvationer tillsammans med våra begynnelsevillkor. Dessa ger information om startläget, både tidsmässigt och rumsmässigt. Det vi har kommit fram till är ekvationens så kallade Greenfunktion, som kortfattat kan förklaras som systemets svar på en liten påverkan i en viss punkt. En liknelse som kanske är mer begriplig är att man kastar en sten i en stilla sjö. Då förklarar Greenfunktionen hur vågorna sprider sig med tiden och i rummet (olika platser på sjön).
Den resulterande Greenfunktionen kan visa sig vara ganska komplex, därför kan man istället kolla på hur systemet ser ut långt ifrån punktkällan, där det oftast beter sig enklare och mer regelbundet. Detta kallas för en asymptotisk utveckling. För att återanvända analogin så kan man tänka sig att där man kastar stenen är det oregelbundna och kraftiga rörelser i vattnet, medans längre bort på sjön (eller längre fram i tiden) så ser man regelbundna vågor som avtar förutsägbart. Detta är användbart då man kan se vilka delar av lösningen som verkar kraftigast på sikt och bygga approximationer som kan användas för enklare och snabbare modeller och simuleringar. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
http://lup.lub.lu.se/student-papers/record/9196855
- author
- Öhlin, Wilhelm LU and Kanljung, Viggo LU
- supervisor
- organization
- course
- FMAL01 20251
- year
- 2025
- type
- M2 - Bachelor Degree
- subject
- publication/series
- Bachelor's Theses in Mathematical Sciences
- report number
- LUTFMA-4014-2025
- ISSN
- 1404-6342
- other publication id
- 2025:K11
- language
- English
- id
- 9196855
- date added to LUP
- 2025-10-15 14:09:20
- date last changed
- 2025-10-15 14:09:20
@misc{9196855,
abstract = {{This paper explores the Klein-Gordon equation, a relativistic wave equation. More specifically, it studies the free form of the equation, where the potential is set to zero. The partial differential equation, together with initial conditions, forms an initial value problem. The first goal of the paper is to derive the Green's function for the problem. This is done in several ways, using spectral theory, double transforms, and a domain mapping approach. The Green's function is then validated, checking that it fulfills the differential equation and the initial condition. The authors then turn to asymptotic analysis, deriving a formula for the asymptotic behavior of the resulting Bessel function. Lastly, the asymptotic characteristics are confirmed using numerical analysis.}},
author = {{Öhlin, Wilhelm and Kanljung, Viggo}},
issn = {{1404-6342}},
language = {{eng}},
note = {{Student Paper}},
series = {{Bachelor's Theses in Mathematical Sciences}},
title = {{A study on the Green’s function for the Klein-Gordon equation}},
year = {{2025}},
}