Mean and variance of absorption time in a population genetics model: Comparison between Markov chain and diffusion process methods.
(2019) In Master's Theses in Mathematica Sciences MATM01 20182Mathematics (Faculty of Sciences)
- Abstract
- Finding the expected number of generations it takes before every individual in a population (of constant size) only has one type of gene at a particular locus of a chromosome, can be formulated as computing the mean absorption time in a Markov chain. However, the Markov chain approach is inappropriate when the population is large. This is commonly solved by approximating the Markov chain with a diffusion process, in which the mean absorption time is found by solving an ODE with boundary conditions. In this thesis, the formulas for the mean absorption time is derived in both cases. Using these formulas, the expected number of generations is computed numerically. The two different methods are compared, and we also discuss the genetic meaning... (More)
- Finding the expected number of generations it takes before every individual in a population (of constant size) only has one type of gene at a particular locus of a chromosome, can be formulated as computing the mean absorption time in a Markov chain. However, the Markov chain approach is inappropriate when the population is large. This is commonly solved by approximating the Markov chain with a diffusion process, in which the mean absorption time is found by solving an ODE with boundary conditions. In this thesis, the formulas for the mean absorption time is derived in both cases. Using these formulas, the expected number of generations is computed numerically. The two different methods are compared, and we also discuss the genetic meaning of the results. (Less)
- Popular Abstract (Swedish)
- Den matematiska teorin för populationsgenetik utvecklades av Sewell Wright och Ronald Fisher under 1920-30 talet. Wright-Fishers modell för evolution beskriver hur frekvenser av gener i en generation kan beräknas från frekvenserna i den föregående generationen. Förändringar i frekvenserna, evolution, uppkommer på grund av mutationer och selektion, men även på grund av slumpen, så kallad drift. Så småningom resulterar sådana förändringar i att en gen fixeras, det vill säga att det är den enda typen som kvarstår i populationen.
I en tidsdiskret utvidgning av Wright-Fishers modell beskrivs förändringar av genfrekvenser i populationen med hjälp av Markovkedjor. I denna modell kan man beräkna den förväntade tiden det tar tills dess att en... (More) - Den matematiska teorin för populationsgenetik utvecklades av Sewell Wright och Ronald Fisher under 1920-30 talet. Wright-Fishers modell för evolution beskriver hur frekvenser av gener i en generation kan beräknas från frekvenserna i den föregående generationen. Förändringar i frekvenserna, evolution, uppkommer på grund av mutationer och selektion, men även på grund av slumpen, så kallad drift. Så småningom resulterar sådana förändringar i att en gen fixeras, det vill säga att det är den enda typen som kvarstår i populationen.
I en tidsdiskret utvidgning av Wright-Fishers modell beskrivs förändringar av genfrekvenser i populationen med hjälp av Markovkedjor. I denna modell kan man beräkna den förväntade tiden det tar tills dess att en vald typ av gen fixeras. En nackdel med modellen är dock att de matriser som beskriver övergångssannolikheterna beror på populationens storlek. För större populationer blir därför de numeriska beräkningarna svåra. För att komma runt detta kan man istället använda en annan modell där den tidsdiskreta modellen approximeras med en kontinuerlig, vilket leder till en diffusionsekvation för täthetsfunktionen för processen. Denna kan i sin tur skrivas på integralform med hjälp av en Greenfunktion.
Ett mål med arbetet är att sätta sig in i dessa modeller och undersöka hur väl de överensstämmer i förutsägelser beroende på val av parametrar för populationsstorlek, mutationsfrekvens, selektionskoefficient och dominansgrad. Ett annat är att se om de beräknade värdena motsvarar vad man kan förvänta sig från en biologisk synpunkt. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
http://lup.lub.lu.se/student-papers/record/8973050
- author
- Koronen, Alexander LU
- supervisor
- organization
- course
- MATM01 20182
- year
- 2019
- type
- H2 - Master's Degree (Two Years)
- subject
- keywords
- Population genetics, Markov chain, Diffusion process.
- publication/series
- Master's Theses in Mathematica Sciences
- report number
- LUNFMA-3101-2019
- ISSN
- 1404-6342
- other publication id
- 2019:E9
- language
- English
- id
- 8973050
- date added to LUP
- 2019-06-14 17:40:22
- date last changed
- 2019-06-14 17:40:22
@misc{8973050,
abstract = {{Finding the expected number of generations it takes before every individual in a population (of constant size) only has one type of gene at a particular locus of a chromosome, can be formulated as computing the mean absorption time in a Markov chain. However, the Markov chain approach is inappropriate when the population is large. This is commonly solved by approximating the Markov chain with a diffusion process, in which the mean absorption time is found by solving an ODE with boundary conditions. In this thesis, the formulas for the mean absorption time is derived in both cases. Using these formulas, the expected number of generations is computed numerically. The two different methods are compared, and we also discuss the genetic meaning of the results.}},
author = {{Koronen, Alexander}},
issn = {{1404-6342}},
language = {{eng}},
note = {{Student Paper}},
series = {{Master's Theses in Mathematica Sciences}},
title = {{Mean and variance of absorption time in a population genetics model: Comparison between Markov chain and diffusion process methods.}},
year = {{2019}},
}