Exploring Complex Langevin Dynamics Under a Simple Potential

Abstract

Recently, a field theory approach, using the Hubbard-Stratonovich transformation, was developed to describe biomolecular droplet formation in cells, through liquid-liquid separation. The approach has the disadvantage of having a complex effective energy function, meaning Monte Carlo simulations become difficult. Therefore, it has been suggested that the complex Langevin equation could be used instead. Complex Langevin dynamics has had various stints of popularity, but was for a long time neglected due to its reported unreliability. Recently a set of criteria for correctness was derived that have to be fulfilled for the method to be reliable. In this project we perform complex Langevin simulations and evaluate the data using these criteria for correctness, for different amounts of complex noise. We also observe trajectories containing long loops in the complex plane, when the Langevin noise term is made complex. The occurrence of these loops leads a broad probability distribution, with power law decay at large distance. This slow decay limits the set of observables that can be reliably studied. We also show the usefulness of an adaptive stepsize.

Popular Abstract (Swedish)

Levande celler innehåller så kallade organeller som utför olika uppgifter och är viktiga för cellens överlevnad. Deras roll kan liknas vid organens funktion i våra kroppar. Många utav dessa organeller har en membranvägg, som skyddar dem från resten av cellens inre. Det finns dock även organeller som saknar omgivande membran och istället, likt en vattendroppe, hålls ihop av ytspänning. Dessa membranfria organeller kallas biomolekylära kondensat och kan skapas eller lösas upp spontant när temperaturen ändras eller molekylkoncentrationen förändras. Under skapandet separeras den vätskeliknande droppen från den också vätskeliknande bakgrunden, som oljedroppar i vatten.

Att bygga modeller för att beskriva och förstå mekanismerna bakom bildandet av dessa kondensat är en utmaning. Detta beror på att kondansatet består av tusentals biomolekyler, som i sin tur består av tusentals atomer. Storleken av sådana system gör direkta datorsimuleringar av dessa molekylära system extremt tidskrävande. Ett helt nytt angreppssätt har nyligen förslagits, vilket bygger på en matematisk omskrivning av det ursprungliga molekylsystemet till en
så kallad fältteori. Fältteoriformuleringen gör det, åtminstone formellt sett, lättare att öka antalet
molekyler i beräkningarna. Nackdelen med metoden är att den arbetar med komplexa
tal, snarare än vanliga (reella) tal, såsom $3, \pi$ och $1/5$, vilket gör att många vanliga
simuleringsmetoder inte kan tillämpas.

Ett undantag är Langevinekvationen, som beskriver t.ex. hur en liten sandpartikel rör sig i vatten. Sandpartikeln kommer att förflytta sig p.g.a utomstående kraft, t.ex. gravitation, och de spontanta kollisionerna från vattenmolekylerna. Med hjälp av denna ekvation har en del modeller som arbetar med komplexa tal kunnat simuleras på datorn. Den har också använts för fältteoribaserade simuleringar av biomolekylära kondensat. Samtidigt är det känt att denna ekvation kan ge felaktiga resultat för simuleringar med komplexa tal. Syftet med detta examensarbete har varit att bygga och utföra simuleringar med ett program baserat på Langevinekvationen, för ett enkelt system av en enda partikel under inverkan av en komplex "kraft". För detta system finns det en exakt lösning att jämföra med. Det blir därmed möjligt att undersöka vad som krävs för att Langevinekvationen, som kan implementeras på olika sätt, ska ge korrekta resultat.

• author: Knuthson, Lucas
• supervisor: Anders Irbäck
• organization: Computational Biology and Biological Physics - Undergoing reorganization
• course: FYTK02 20201
• year: 2020
• type: M2 - Bachelor Degree
• subject: Physics and Astronomy
• language: English
• id: 9025296
• date added to LUP: 2020-08-17 09:36:37
• date last changed: 2020-08-17 09:36:37