Existence and Approximations of Optimal Wavelets
(2021) In Master’s Theses in Mathematical Sciences MATM03 20211Centre for Mathematical Sciences
- Abstract
- In this thesis we consider two notions of mother wavelet uncertainty for the one-dimensional wavelet transform based on a new localization framework recently introduced by Levie and Sochen. It is shown that minimizers of these uncertainties in the space of linear splines with compact support approximate the minimizers in $L^2$ in an appropriate sense, validating numerical schemes for searching for minimizers.
- Popular Abstract (Swedish)
- Wavelettransformen är ett verktyg inom dataanalys för att analysera signaler såsom EKG:er, ljudinspelningar, temperaturavläsningar eller aktiekurser. Transformen bygger på att man låter en funktion som kallas en wavelet bygga upp ett bibliotek av förflyttningar och utdragningar av sig själv vilket är illustrerat i bilden till höger. Sedan beskrivs signalen som summan av element ur detta bibliotek. Själva wavelettransformen är informationen om exakt vilka element som utgör signalen.
Med hjälp av wavelettransformen kan man komprimera information genom att endast spara de viktigaste termerna i summan. För maskininlärning kan man låta ett neuralt nätverk analysera resultatet av wavelettransformen av signalen istället för signalen. Detta har... (More) - Wavelettransformen är ett verktyg inom dataanalys för att analysera signaler såsom EKG:er, ljudinspelningar, temperaturavläsningar eller aktiekurser. Transformen bygger på att man låter en funktion som kallas en wavelet bygga upp ett bibliotek av förflyttningar och utdragningar av sig själv vilket är illustrerat i bilden till höger. Sedan beskrivs signalen som summan av element ur detta bibliotek. Själva wavelettransformen är informationen om exakt vilka element som utgör signalen.
Med hjälp av wavelettransformen kan man komprimera information genom att endast spara de viktigaste termerna i summan. För maskininlärning kan man låta ett neuralt nätverk analysera resultatet av wavelettransformen av signalen istället för signalen. Detta har gjorts med både MR-undersökningar av hjärnan och röntgenbilder av lungor.
Det finns många olika wavelets och vilken vi använder beror på sammanhanget. Gemensamt är att man vill att waveleten ska vara maximalt olik förflyttningar och omskalningar av sig själv för att inte spara överföldig information. Dock har det historiskt saknats ett matematiskt ramverk för att beskriva detta. Denna uppsats går igenom ett sådant ramverk som nyligen har introducerats och behandlar wavelets som är optimala sett till två olika mått av lämplighet.
Algoritmer för att konstruera optimala wavelets sett till dessa mått har skrivits i år. I datorer kan vi dock bara arbeta med en begränsad samling funktioner som inte kan vara lika välbetedda som de funktionerna som faktiskt är optimala. Uppsatsens stora bidrag är ett bevis för att vi i datorn kan konstruera wavelets som är godtyckligt nära att vara optimala. Förhoppningen är att waveletserna som konstrueras med hjälp av dessa algoritmer därmer ska kunna användas i tillämpningar i framtiden. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
http://lup.lub.lu.se/student-papers/record/9048876
- author
- Halvdansson, Simon LU
- supervisor
- organization
- course
- MATM03 20211
- year
- 2021
- type
- H2 - Master's Degree (Two Years)
- subject
- publication/series
- Master’s Theses in Mathematical Sciences
- report number
- LUNFMA-3127-2021
- ISSN
- 1404-6342
- other publication id
- 2021:E23
- language
- English
- id
- 9048876
- date added to LUP
- 2021-08-27 16:18:42
- date last changed
- 2021-08-27 16:18:42
@misc{9048876, abstract = {{In this thesis we consider two notions of mother wavelet uncertainty for the one-dimensional wavelet transform based on a new localization framework recently introduced by Levie and Sochen. It is shown that minimizers of these uncertainties in the space of linear splines with compact support approximate the minimizers in $L^2$ in an appropriate sense, validating numerical schemes for searching for minimizers.}}, author = {{Halvdansson, Simon}}, issn = {{1404-6342}}, language = {{eng}}, note = {{Student Paper}}, series = {{Master’s Theses in Mathematical Sciences}}, title = {{Existence and Approximations of Optimal Wavelets}}, year = {{2021}}, }