Skip to main content

LUP Student Papers

LUND UNIVERSITY LIBRARIES

Existence and Approximations of Optimal Wavelets

Halvdansson, Simon LU (2021) In Master’s Theses in Mathematical Sciences MATM03 20211
Centre for Mathematical Sciences
Abstract
In this thesis we consider two notions of mother wavelet uncertainty for the one-dimensional wavelet transform based on a new localization framework recently introduced by Levie and Sochen. It is shown that minimizers of these uncertainties in the space of linear splines with compact support approximate the minimizers in $L^2$ in an appropriate sense, validating numerical schemes for searching for minimizers.
Popular Abstract (Swedish)
Wavelettransformen är ett verktyg inom dataanalys för att analysera signaler såsom EKG:er, ljudinspelningar, temperaturavläsningar eller aktiekurser. Transformen bygger på att man låter en funktion som kallas en wavelet bygga upp ett bibliotek av förflyttningar och utdragningar av sig själv vilket är illustrerat i bilden till höger. Sedan beskrivs signalen som summan av element ur detta bibliotek. Själva wavelettransformen är informationen om exakt vilka element som utgör signalen.

Med hjälp av wavelettransformen kan man komprimera information genom att endast spara de viktigaste termerna i summan. För maskininlärning kan man låta ett neuralt nätverk analysera resultatet av wavelettransformen av signalen istället för signalen. Detta har... (More)
Wavelettransformen är ett verktyg inom dataanalys för att analysera signaler såsom EKG:er, ljudinspelningar, temperaturavläsningar eller aktiekurser. Transformen bygger på att man låter en funktion som kallas en wavelet bygga upp ett bibliotek av förflyttningar och utdragningar av sig själv vilket är illustrerat i bilden till höger. Sedan beskrivs signalen som summan av element ur detta bibliotek. Själva wavelettransformen är informationen om exakt vilka element som utgör signalen.

Med hjälp av wavelettransformen kan man komprimera information genom att endast spara de viktigaste termerna i summan. För maskininlärning kan man låta ett neuralt nätverk analysera resultatet av wavelettransformen av signalen istället för signalen. Detta har gjorts med både MR-undersökningar av hjärnan och röntgenbilder av lungor.

Det finns många olika wavelets och vilken vi använder beror på sammanhanget. Gemensamt är att man vill att waveleten ska vara maximalt olik förflyttningar och omskalningar av sig själv för att inte spara överföldig information. Dock har det historiskt saknats ett matematiskt ramverk för att beskriva detta. Denna uppsats går igenom ett sådant ramverk som nyligen har introducerats och behandlar wavelets som är optimala sett till två olika mått av lämplighet.

Algoritmer för att konstruera optimala wavelets sett till dessa mått har skrivits i år. I datorer kan vi dock bara arbeta med en begränsad samling funktioner som inte kan vara lika välbetedda som de funktionerna som faktiskt är optimala. Uppsatsens stora bidrag är ett bevis för att vi i datorn kan konstruera wavelets som är godtyckligt nära att vara optimala. Förhoppningen är att waveletserna som konstrueras med hjälp av dessa algoritmer därmer ska kunna användas i tillämpningar i framtiden. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
Halvdansson, Simon LU
supervisor
organization
course
MATM03 20211
year
type
H2 - Master's Degree (Two Years)
subject
publication/series
Master’s Theses in Mathematical Sciences
report number
LUNFMA-3127-2021
ISSN
1404-6342
other publication id
2021:E23
language
English
id
9048876
date added to LUP
2021-08-27 16:18:42
date last changed
2021-08-27 16:18:42
@misc{9048876,
  abstract     = {{In this thesis we consider two notions of mother wavelet uncertainty for the one-dimensional wavelet transform based on a new localization framework recently introduced by Levie and Sochen. It is shown that minimizers of these uncertainties in the space of linear splines with compact support approximate the minimizers in $L^2$ in an appropriate sense, validating numerical schemes for searching for minimizers.}},
  author       = {{Halvdansson, Simon}},
  issn         = {{1404-6342}},
  language     = {{eng}},
  note         = {{Student Paper}},
  series       = {{Master’s Theses in Mathematical Sciences}},
  title        = {{Existence and Approximations of Optimal Wavelets}},
  year         = {{2021}},
}