Advanced

Classification of stiffness and oscillations in initial value problems

Valtonen Örnhag, Marcus (2015) In Master's Theses in Mathematical Sciences FMN820 20151
Mathematics (Faculty of Technology) and Numerical Analysis
Abstract
The spectrum of a linear, constant coefficient operator $A$ can help us characterize the system $\dot{x}=Ax$ satisfactorily, but in the case of a nonlinear dynamical system such methods are not suitable. In this thesis we discuss the insufficiency of only studying the eigenvalues along the Jacobian of the solution trajectory and discuss possible indicators to better characterize such systems.

In Söderlind et al. \cite{soderlind-stiffness} a stiffness indicator was derived, and we seek to investigate the possibility to define an oscillation indicator, i.e. an indicator that accurately captures the phenomenon known as oscillations. This is of scientific interest since a rigorous and computationally relevant characterization of... (More)
The spectrum of a linear, constant coefficient operator $A$ can help us characterize the system $\dot{x}=Ax$ satisfactorily, but in the case of a nonlinear dynamical system such methods are not suitable. In this thesis we discuss the insufficiency of only studying the eigenvalues along the Jacobian of the solution trajectory and discuss possible indicators to better characterize such systems.

In Söderlind et al. \cite{soderlind-stiffness} a stiffness indicator was derived, and we seek to investigate the possibility to define an oscillation indicator, i.e. an indicator that accurately captures the phenomenon known as oscillations. This is of scientific interest since a rigorous and computationally relevant characterization of oscillations is still missing. Furthermore, we discuss problems that are not due to nonlinearity, but non-normality, and derive a normality indicator.

For applications one would need computationally inexpensive indicators, and we make suggestions of such, called estimators, mimicking the behavior of the stiffness indicator and the proposed oscillation indicator. In order to demonstrate the theory sixteen computational experiments serve to illustrate a variety of different phenomena. (Less)
Popular Abstract (Swedish)
Lösningarna till linjära system med konstanta koefficienter, $\dot{x}=Ax$, har varit kända i över hundra år och deras karaktär bestäms med hjälp av egenvärdena till matrisen $A$. Det är inte konstigt att konceptet egenvärde förbryllar matematik- och ingenjörs-studenter: Vad är den korrekta tolkningen? Vad betyder det? Det är inte ett enkelt begrepp att förstå, eftersom det finns många olika perspektiv på hur det ska tolkas. Inom numerisk analys talar egenvärdena om huruvida din metod kommer att konvergera och hur snabbt detta sker, men i populationsekologi förutspår egenvärdena de långsiktiga förhållandena mellan olika arter i ett ekosystem. I kvantmekanik kan egenvärdena vara energitillstånd för en partikel i en kvantbrunn och i... (More)
Lösningarna till linjära system med konstanta koefficienter, $\dot{x}=Ax$, har varit kända i över hundra år och deras karaktär bestäms med hjälp av egenvärdena till matrisen $A$. Det är inte konstigt att konceptet egenvärde förbryllar matematik- och ingenjörs-studenter: Vad är den korrekta tolkningen? Vad betyder det? Det är inte ett enkelt begrepp att förstå, eftersom det finns många olika perspektiv på hur det ska tolkas. Inom numerisk analys talar egenvärdena om huruvida din metod kommer att konvergera och hur snabbt detta sker, men i populationsekologi förutspår egenvärdena de långsiktiga förhållandena mellan olika arter i ett ekosystem. I kvantmekanik kan egenvärdena vara energitillstånd för en partikel i en kvantbrunn och i hållfasthetsläran talar de om för dig hur du ska designa en bro för att motstå starka vindar och jordbävningar.

När man väl förstår vilket omfattande begrepp egenvärden utgör kommer ett ännu större problem -- för icke-linjära dynamiska system räcker det inte att studera egenvärden. Det är dessa problem som är av intresse ute i näringslivet. För att kunna lösa sådana problem behöver vi kunna karakterisera dem, eftersom olika problem kräver olika lösningsmetoder. Detta är inte problem som du kan skriva ner för hand, utan består av miljontals ekvationer som behöver lösas, vilket även är svårt för datorer att göra om inte rätt metoder används.

I denna avhandling presenteras några förslag på hur styvhet och oscillation kan karakteriseras. Idag finns det inga vedertagna definitioner för dessa fenomen, men begreppen har existerat i forskningsvärden i över sextio år. En anledning till att det inte finns är för att det rör sig om komplexa fenomen som inte bara har en specifik egenskap. Styva ekvationer är en typ av differentialekvationer där en del numeriska metoder (explicita) är numeriskt instabila om inte steglängden är väldigt liten. Även för moderna datorer kan detta innebära långa simuleringstider och ofta överväger man att istället använda implicita metoder för att bli av med steglängdskravet. Oscillationer är inte endast lösningar till periodiska system utan även till kvasiperiodiska system och kaotiska system. Dessa kan ha olika egenskaper, t.ex. kan de vara invarianta längs med en lösningstrajektorie eller ha stabila självsvängningar. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
Valtonen Örnhag, Marcus
supervisor
organization
course
FMN820 20151
year
type
H2 - Master's Degree (Two Years)
subject
publication/series
Master's Theses in Mathematical Sciences
report number
LUTFNA-3034-2015
ISSN
1404-6342
other publication id
2015:E5
language
English
id
5265769
date added to LUP
2015-06-18 12:09:03
date last changed
2015-12-14 13:32:13
@misc{5265769,
  abstract     = {The spectrum of a linear, constant coefficient operator $A$ can help us characterize the system $\dot{x}=Ax$ satisfactorily, but in the case of a nonlinear dynamical system such methods are not suitable. In this thesis we discuss the insufficiency of only studying the eigenvalues along the Jacobian of the solution trajectory and discuss possible indicators to better characterize such systems.

In Söderlind et al. \cite{soderlind-stiffness} a stiffness indicator was derived, and we seek to investigate the possibility to define an oscillation indicator, i.e. an indicator that accurately captures the phenomenon known as oscillations. This is of scientific interest since a rigorous and computationally relevant characterization of oscillations is still missing. Furthermore, we discuss problems that are not due to nonlinearity, but non-normality, and derive a normality indicator.

For applications one would need computationally inexpensive indicators, and we make suggestions of such, called estimators, mimicking the behavior of the stiffness indicator and the proposed oscillation indicator. In order to demonstrate the theory sixteen computational experiments serve to illustrate a variety of different phenomena.},
  author       = {Valtonen Örnhag, Marcus},
  issn         = {1404-6342},
  language     = {eng},
  note         = {Student Paper},
  series       = {Master's Theses in Mathematical Sciences},
  title        = {Classification of stiffness and oscillations in initial value problems},
  year         = {2015},
}