Advanced

Radiella lösningar till en klass av semilineära elliptiska ekvationer

Petersson, Patrik LU (2015) In Master’s Theses in Mathematical Sciences MATM01 20142
Mathematics (Faculty of Sciences)
Abstract
In this thesis we consider the boundary value problem
(*) u''+((n-1)/r)u'+f(u)=0,(r > 0, n > 1), u'(0)=0, lim(r->infinity)u(r)=0,
where f satisfies a number of appropriate conditions. Under these assumptions, a theorem states that for every nonnegative integer m, (*) has a solution u(r) with exactly m zeros in (0,infinity). A proof, using a scaling argument and a shooting method is presented. It is also shown that this theorem holds for a class of modified coefficients for u'. A uniqueness theorem that applies for another class of f states that (*) has at most one solution u(r) such that u(r) > 0 in (0,infinity). We present the main part of the proof and give some examples of functions f satisfying the hypothesis of the theorem. In the... (More)
In this thesis we consider the boundary value problem
(*) u''+((n-1)/r)u'+f(u)=0,(r > 0, n > 1), u'(0)=0, lim(r->infinity)u(r)=0,
where f satisfies a number of appropriate conditions. Under these assumptions, a theorem states that for every nonnegative integer m, (*) has a solution u(r) with exactly m zeros in (0,infinity). A proof, using a scaling argument and a shooting method is presented. It is also shown that this theorem holds for a class of modified coefficients for u'. A uniqueness theorem that applies for another class of f states that (*) has at most one solution u(r) such that u(r) > 0 in (0,infinity). We present the main part of the proof and give some examples of functions f satisfying the hypothesis of the theorem. In the last part we discuss a few similar results and also what progress has been made
in this field until today. (Less)
Popular Abstract (Swedish)
Detta arbete handlar om en viss typ av differentialekvationer, så kallade Shrödingerekvationer, som bl.a. har tillämpningar inom kvantmekanik. Genom att studera lösningarna (vågfunktionerna) till sådana ekvationer kan man erhålla information om olika atomära tillstånd. Lite förenklat kan man säga att lösningarna beskriver olika rörelsemönster för elektronerna runt en atomkärna. I det här arbetet studeras vågfunktioner som endast beror på det radiella avståndet från atomkärnan.
Ett problem är att lösningarna till den här typen av ekvationer oftast inte går att uttrycka på något enkelt sätt med hjälp av formler utan man måste använda sig av indirekta metoder. Jag har studerat några metoder som kan användas för att besvara frågor som rör... (More)
Detta arbete handlar om en viss typ av differentialekvationer, så kallade Shrödingerekvationer, som bl.a. har tillämpningar inom kvantmekanik. Genom att studera lösningarna (vågfunktionerna) till sådana ekvationer kan man erhålla information om olika atomära tillstånd. Lite förenklat kan man säga att lösningarna beskriver olika rörelsemönster för elektronerna runt en atomkärna. I det här arbetet studeras vågfunktioner som endast beror på det radiella avståndet från atomkärnan.
Ett problem är att lösningarna till den här typen av ekvationer oftast inte går att uttrycka på något enkelt sätt med hjälp av formler utan man måste använda sig av indirekta metoder. Jag har studerat några metoder som kan användas för att besvara frågor som rör existens och entydighet av lösningar. Dvs. finns det överhuvudtaget några lösningar som har vissa givna egenskaper, och om svaret är ja, finns det då mer än en sådan lösning? En egenskap hos en lösning kan t.ex. vara att den ska ha ett visst antal nollställen eller att den ska konvergera mot noll då avståndet från atomkärnan ökar obegränsat. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
Petersson, Patrik LU
supervisor
organization
alternative title
Radial solutions to a class of semilinear elliptic equations
course
MATM01 20142
year
type
H2 - Master's Degree (Two Years)
subject
keywords
uniqueness, prescribed, existence, semilinear, scaling, shooting, elliptic, Schroedinger, radial, zeros, boundary
publication/series
Master’s Theses in Mathematical Sciences
report number
LUNFMA-3083-2015
ISSN
1404-6342
other publication id
2015:E31
language
Swedish
id
7358575
date added to LUP
2015-06-18 11:59:50
date last changed
2015-06-18 11:59:50
@misc{7358575,
  abstract     = {In this thesis we consider the boundary value problem
(*) u''+((n-1)/r)u'+f(u)=0,(r > 0, n > 1), u'(0)=0, lim(r->infinity)u(r)=0,
where f satisfies a number of appropriate conditions. Under these assumptions, a theorem states that for every nonnegative integer m, (*) has a solution u(r) with exactly m zeros in (0,infinity). A proof, using a scaling argument and a shooting method is presented. It is also shown that this theorem holds for a class of modified coefficients for u'. A uniqueness theorem that applies for another class of f states that (*) has at most one solution u(r) such that u(r) > 0 in (0,infinity). We present the main part of the proof and give some examples of functions f satisfying the hypothesis of the theorem. In the last part we discuss a few similar results and also what progress has been made
in this field until today.},
  author       = {Petersson, Patrik},
  issn         = {1404-6342},
  keyword      = {uniqueness,prescribed,existence,semilinear,scaling,shooting,elliptic,Schroedinger,radial,zeros,boundary},
  language     = {swe},
  note         = {Student Paper},
  series       = {Master’s Theses in Mathematical Sciences},
  title        = {Radiella lösningar till en klass av semilineära elliptiska ekvationer},
  year         = {2015},
}