Linnik's Proof of the Waring-Hilbert Theorem

Abstract

In number theory, Waring–Hilbert’s theorem guarantees that for each k there is an integer h ≥ 0 so that, for every non-negative integer n there are non-negative integers a1,a2,...,ak such that

ak 1 + ak 2 + ··· + ak h = n.

In this thesis the problem will first be proved in the specific case where k = 2. Then the proof of the general case due to Yuri Linnik will be given. The notion of Shnirelman density will be introduced. Although the approach for proving Waring–Hilbert’s theorem is elementary, several methods from various fields of mathematics will be used. Instances of the Riemann zeta function will be used in order to show that h is finite. The lasts steps in the argument will be carried out with the aid of Fourier series.

Popular Abstract (Swedish)

Ett sedan antiken känt matematiskt problem är frågan om vilket naturligt tal som helst går att skriva om som summan av fyra kvadrater. Det vill säga, finns det, för vilket n som helst, fyra heltal a1,a2,a3,a4 s˚a att a2 1 + a2 2 + a2 3 + a2 4 = n? Att s˚a faktiskt ¨ar fallet bevisades av Joseph Louis Lagrange˚ar 1770. Ett bevis av satsen ges också i denna uppsats. Metoden som används h¨ ar ¨ar att först visa att om satsen gäller för alla primtal p1,p2,p3 och så vidare, så gäller den också för alla sammansatta tal n = p1 ...pm f¨ or något m. Sedan visas att påståendet gäller för alla primtal. Och därmed är satsen bevisad. Nästa fråga att ställa sig är förstås om det finns en liknande regel för kuber. Alltså, är det så att, för vilket naturligt tal n som helst, det finns h heltal a1,a2,...,ah s˚a att

a3 1 + a3 2 + ··· + a3 h = n?

Svaret på denna fråga är också jakande. Det visar sig nämligen att högst nio kuber behövs för att skriva vilket naturligt tal som helst. Naturligtvis kan vi fortsätta, och fråga oss om alla naturliga tal kan skrivas som summan av ett visst antal fjärdepotenser, om de kan skrivas som ett visst antal femtepotenser och så vidare. För den intresserade påpekar vi att nitton fjärdepotenser behövs för att skriva vilket naturligt tal som helst, och att trettiosju femtepotenser behövs för samma syfte. Men i den här uppsatsen är vi inte primärt intresserade av att finna h för en mängd olika potenser. Här ska vi försöka finna en mer generell regel. Samma år som Lagrange visade att alla naturliga tal kan skrivas som summan av fyra kvadrater, frågade sig den brittiske matematikern Edward Waring om det för ett givet k alltid finns ett h så att det, för varje naturligt tal n alltid finns heltal a1,a2,...,ah så att

ak 1 + ak 2 + ··· + ak h = n.

Frågan är alltså om det alltid, för vilken potens k vi än väljer, bara behövs ett fixt antal k-potenser för att skriva vilket tal som helst. Naturligtvis kommer detta antal att växa med k, men vad Waring förmodade, var att det för ett givet k ändå aldrig skulle bli oändligt stort. Denna förmodan bevisades av tysken David Hilbert 1909. Därför kallas satsen Waring– Hilberts sats. Med tiden har dock andra bevis utarbetats. Till exempel upptäckte ryssen Yuri Linnik år 1943 ett bevis som på ett enklare sätt visade Hilbert–Warings sats. Detta bevis har senare gjorts om och slipats på av flera matematiker runtom i världen. Och det är detta bevis som återges i denna uppsats.

• author: Johansson, Thomas
• supervisor: Kjell Elfström
• organization: Mathematics (Faculty of Sciences)
• alternative title: Linniks bevis av Waring-Hilberts sats
• course: MATK01 20161
• year: 2016
• type: M2 - Bachelor Degree
• subject: Mathematics and Statistics
• keywords: Number theory, Waring-Hilbert's theorem, Waring's problem
• publication/series: Bachelor's Theses in Mathematical Sciences
• report number: LUNFMA-4050-2016
• ISSN: 1654-6229
• other publication id: 2016:K5
• language: English
• id: 8874794
• date added to LUP: 2016-08-25 15:19:56
• date last changed: 2016-08-25 15:19:56