Advanced

Linnik's Proof of the Waring-Hilbert Theorem

Johansson, Thomas LU (2016) In Bachelor's Theses in Mathematical Sciences MATK01 20161
Mathematics (Faculty of Sciences)
Abstract
In number theory, Waring–Hilbert’s theorem guarantees that for each k there is an integer h ≥ 0 so that, for every non-negative integer n there are non-negative integers a1,a2,...,ak such that

ak 1 + ak 2 + ··· + ak h = n.

In this thesis the problem will first be proved in the specific case where k = 2. Then the proof of the general case due to Yuri Linnik will be given. The notion of Shnirelman density will be introduced. Although the approach for proving Waring–Hilbert’s theorem is elementary, several methods from various fields of mathematics will be used. Instances of the Riemann zeta function will be used in order to show that h is finite. The lasts steps in the argument will be carried out with the aid of Fourier series.
Popular Abstract (Swedish)
Ett sedan antiken känt matematiskt problem är frågan om vilket naturligt tal som helst går att skriva om som summan av fyra kvadrater. Det vill säga, finns det, för vilket n som helst, fyra heltal a1,a2,a3,a4 s˚a att a2 1 + a2 2 + a2 3 + a2 4 = n? Att s˚a faktiskt ¨ar fallet bevisades av Joseph Louis Lagrange˚ar 1770. Ett bevis av satsen ges också i denna uppsats. Metoden som används h¨ ar ¨ar att först visa att om satsen gäller för alla primtal p1,p2,p3 och så vidare, så gäller den också för alla sammansatta tal n = p1 ...pm f¨ or något m. Sedan visas att påståendet gäller för alla primtal. Och därmed är satsen bevisad. Nästa fråga att ställa sig är förstås om det finns en liknande regel för kuber. Alltså, är det så att, för vilket... (More)
Ett sedan antiken känt matematiskt problem är frågan om vilket naturligt tal som helst går att skriva om som summan av fyra kvadrater. Det vill säga, finns det, för vilket n som helst, fyra heltal a1,a2,a3,a4 s˚a att a2 1 + a2 2 + a2 3 + a2 4 = n? Att s˚a faktiskt ¨ar fallet bevisades av Joseph Louis Lagrange˚ar 1770. Ett bevis av satsen ges också i denna uppsats. Metoden som används h¨ ar ¨ar att först visa att om satsen gäller för alla primtal p1,p2,p3 och så vidare, så gäller den också för alla sammansatta tal n = p1 ...pm f¨ or något m. Sedan visas att påståendet gäller för alla primtal. Och därmed är satsen bevisad. Nästa fråga att ställa sig är förstås om det finns en liknande regel för kuber. Alltså, är det så att, för vilket naturligt tal n som helst, det finns h heltal a1,a2,...,ah s˚a att

a3 1 + a3 2 + ··· + a3 h = n?

Svaret på denna fråga är också jakande. Det visar sig nämligen att högst nio kuber behövs för att skriva vilket naturligt tal som helst. Naturligtvis kan vi fortsätta, och fråga oss om alla naturliga tal kan skrivas som summan av ett visst antal fjärdepotenser, om de kan skrivas som ett visst antal femtepotenser och så vidare. För den intresserade påpekar vi att nitton fjärdepotenser behövs för att skriva vilket naturligt tal som helst, och att trettiosju femtepotenser behövs för samma syfte. Men i den här uppsatsen är vi inte primärt intresserade av att finna h för en mängd olika potenser. Här ska vi försöka finna en mer generell regel. Samma år som Lagrange visade att alla naturliga tal kan skrivas som summan av fyra kvadrater, frågade sig den brittiske matematikern Edward Waring om det för ett givet k alltid finns ett h så att det, för varje naturligt tal n alltid finns heltal a1,a2,...,ah så att

ak 1 + ak 2 + ··· + ak h = n.

Frågan är alltså om det alltid, för vilken potens k vi än väljer, bara behövs ett fixt antal k-potenser för att skriva vilket tal som helst. Naturligtvis kommer detta antal att växa med k, men vad Waring förmodade, var att det för ett givet k ändå aldrig skulle bli oändligt stort. Denna förmodan bevisades av tysken David Hilbert 1909. Därför kallas satsen Waring– Hilberts sats. Med tiden har dock andra bevis utarbetats. Till exempel upptäckte ryssen Yuri Linnik år 1943 ett bevis som på ett enklare sätt visade Hilbert–Warings sats. Detta bevis har senare gjorts om och slipats på av flera matematiker runtom i världen. Och det är detta bevis som återges i denna uppsats. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
Johansson, Thomas LU
supervisor
organization
alternative title
Linniks bevis av Waring-Hilberts sats
course
MATK01 20161
year
type
M2 - Bachelor Degree
subject
keywords
Number theory, Waring-Hilbert's theorem, Waring's problem
publication/series
Bachelor's Theses in Mathematical Sciences
report number
LUNFMA-4050-2016
ISSN
1654-6229
other publication id
2016:K5
language
English
id
8874794
date added to LUP
2016-08-25 15:19:56
date last changed
2016-08-25 15:19:56
@misc{8874794,
  abstract     = {In number theory, Waring–Hilbert’s theorem guarantees that for each k there is an integer h ≥ 0 so that, for every non-negative integer n there are non-negative integers a1,a2,...,ak such that

ak 1 + ak 2 + ··· + ak h = n.

In this thesis the problem will first be proved in the specific case where k = 2. Then the proof of the general case due to Yuri Linnik will be given. The notion of Shnirelman density will be introduced. Although the approach for proving Waring–Hilbert’s theorem is elementary, several methods from various fields of mathematics will be used. Instances of the Riemann zeta function will be used in order to show that h is finite. The lasts steps in the argument will be carried out with the aid of Fourier series.},
  author       = {Johansson, Thomas},
  issn         = {1654-6229},
  keyword      = {Number theory,Waring-Hilbert's theorem,Waring's problem},
  language     = {eng},
  note         = {Student Paper},
  series       = {Bachelor's Theses in Mathematical Sciences},
  title        = {Linnik's Proof of the Waring-Hilbert Theorem},
  year         = {2016},
}