Two variational problems related to the nonlinear Schrödinger equation
(2017) In Bachelor's Theses in Mathematical Sciences MATK01 20162Mathematics (Faculty of Sciences)
- Abstract
- The nonlinear Schrödinger equation is a partial differential equation which appears as a model in several branches of physics, including Bose-Einstein condensation and hydrodynamics. In this thesis, we investigate a particular class of solutions, namely periodic standing waves. We derive explicit formulas for the solutions using elliptic functions and study their variational properties. The standing waves are critical points of the energy subject to the constraint of fixed mass. In particular, we characterize the constrained minimizers and investigate a phase transition which occurs for a critical value of a parameter in the equation. We also study a second class of solutions which are obtained by seeking critical points of the energy... (More)
- The nonlinear Schrödinger equation is a partial differential equation which appears as a model in several branches of physics, including Bose-Einstein condensation and hydrodynamics. In this thesis, we investigate a particular class of solutions, namely periodic standing waves. We derive explicit formulas for the solutions using elliptic functions and study their variational properties. The standing waves are critical points of the energy subject to the constraint of fixed mass. In particular, we characterize the constrained minimizers and investigate a phase transition which occurs for a critical value of a parameter in the equation. We also study a second class of solutions which are obtained by seeking critical points of the energy subject to the constraints of fixed mass and angular momentum. This leads to periodic standing waves in a moving reference frame or, equivalently, quasi periodic standing waves in a fixed reference frame. In this case, we are not able to completely identify the minimizers, and instead complement with numerical computations. (Less)
- Popular Abstract (Swedish)
- Bose-Einstein-kondensat är ett tillstånd av materia som kan uppnås när man kyler ner en gas med låg densitet till temperaturer väldigt nära den absoluta nollpunkten. Det observerades för första gången 1995 i en gas av rubidiumatomer men förutspåddes teoretiskt i början av 1900-talet av Bose och Einstein. Kondensatet har bevisats kunna drastiskt bromsa ljusets hastighet eller helt enkelt stanna det. Kondensatet kan beskrivas av en icke-linjär Schrödinger-ekvation som ofta kallas Gross-Pitaevskii-ekvationen. Med hjälp av laser och magnetfält kan man fånga in Bose-Einstein-kondensatet i en fälla. När fällan har formen av en tunn torus är det rimligt att använda en förenklad modell bestående av den endimensionella icke-linjära... (More)
- Bose-Einstein-kondensat är ett tillstånd av materia som kan uppnås när man kyler ner en gas med låg densitet till temperaturer väldigt nära den absoluta nollpunkten. Det observerades för första gången 1995 i en gas av rubidiumatomer men förutspåddes teoretiskt i början av 1900-talet av Bose och Einstein. Kondensatet har bevisats kunna drastiskt bromsa ljusets hastighet eller helt enkelt stanna det. Kondensatet kan beskrivas av en icke-linjär Schrödinger-ekvation som ofta kallas Gross-Pitaevskii-ekvationen. Med hjälp av laser och magnetfält kan man fånga in Bose-Einstein-kondensatet i en fälla. När fällan har formen av en tunn torus är det rimligt att använda en förenklad modell bestående av den endimensionella icke-linjära Schrödinger-ekvationen med periodiska randvillkor. Det är den modellen som undersöks i detta arbete. Speciellt undersöks grundtillståndet för olika värden på en parameter som beskriver hur stark interaktionen är mellan partiklarna i kondensatet. Vi hittar ett kritiskt värde på parametern där det sker en fasövergång. Denna fasövergång har tidigare studerats numeriskt, men vi använder ett mer rigoröst tillvägagångssätt. Vi undersöker också grundtillståndet för ett givet rörelsemängdsmoment (vilket motsvarar att kondensatet roterar). (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
http://lup.lub.lu.se/student-papers/record/8905602
- author
- Stolpe, Oscar LU
- supervisor
-
- Erik Wahlén LU
- organization
- course
- MATK01 20162
- year
- 2017
- type
- M2 - Bachelor Degree
- subject
- keywords
- Nonlinear Schrödinger equation, Standing waves, Bose-Einstein condensate, Variational problem, Elliptic functions
- publication/series
- Bachelor's Theses in Mathematical Sciences
- report number
- LUNFMA-4059-2017
- ISSN
- 1654-6229
- other publication id
- 2017:K6
- language
- English
- id
- 8905602
- date added to LUP
- 2017-04-18 17:17:42
- date last changed
- 2017-04-18 17:17:42
@misc{8905602,
abstract = {{The nonlinear Schrödinger equation is a partial differential equation which appears as a model in several branches of physics, including Bose-Einstein condensation and hydrodynamics. In this thesis, we investigate a particular class of solutions, namely periodic standing waves. We derive explicit formulas for the solutions using elliptic functions and study their variational properties. The standing waves are critical points of the energy subject to the constraint of fixed mass. In particular, we characterize the constrained minimizers and investigate a phase transition which occurs for a critical value of a parameter in the equation. We also study a second class of solutions which are obtained by seeking critical points of the energy subject to the constraints of fixed mass and angular momentum. This leads to periodic standing waves in a moving reference frame or, equivalently, quasi periodic standing waves in a fixed reference frame. In this case, we are not able to completely identify the minimizers, and instead complement with numerical computations.}},
author = {{Stolpe, Oscar}},
issn = {{1654-6229}},
language = {{eng}},
note = {{Student Paper}},
series = {{Bachelor's Theses in Mathematical Sciences}},
title = {{Two variational problems related to the nonlinear Schrödinger equation}},
year = {{2017}},
}