Advanced

Two variational problems related to the nonlinear Schrödinger equation

Stolpe, Oscar LU (2017) In Bachelor's Theses in Mathematical Sciences MATK01 20162
Mathematics (Faculty of Sciences)
Abstract
The nonlinear Schrödinger equation is a partial differential equation which appears as a model in several branches of physics, including Bose-Einstein condensation and hydrodynamics. In this thesis, we investigate a particular class of solutions, namely periodic standing waves. We derive explicit formulas for the solutions using elliptic functions and study their variational properties. The standing waves are critical points of the energy subject to the constraint of fixed mass. In particular, we characterize the constrained minimizers and investigate a phase transition which occurs for a critical value of a parameter in the equation. We also study a second class of solutions which are obtained by seeking critical points of the energy... (More)
The nonlinear Schrödinger equation is a partial differential equation which appears as a model in several branches of physics, including Bose-Einstein condensation and hydrodynamics. In this thesis, we investigate a particular class of solutions, namely periodic standing waves. We derive explicit formulas for the solutions using elliptic functions and study their variational properties. The standing waves are critical points of the energy subject to the constraint of fixed mass. In particular, we characterize the constrained minimizers and investigate a phase transition which occurs for a critical value of a parameter in the equation. We also study a second class of solutions which are obtained by seeking critical points of the energy subject to the constraints of fixed mass and angular momentum. This leads to periodic standing waves in a moving reference frame or, equivalently, quasi periodic standing waves in a fixed reference frame. In this case, we are not able to completely identify the minimizers, and instead complement with numerical computations. (Less)
Popular Abstract (Swedish)
Bose-Einstein-kondensat är ett tillstånd av materia som kan uppnås när man kyler ner en gas med låg densitet till temperaturer väldigt nära den absoluta nollpunkten. Det observerades för första gången 1995 i en gas av rubidiumatomer men förutspåddes teoretiskt i början av 1900-talet av Bose och Einstein. Kondensatet har bevisats kunna drastiskt bromsa ljusets hastighet eller helt enkelt stanna det. Kondensatet kan beskrivas av en icke-linjär Schrödinger-ekvation som ofta kallas Gross-Pitaevskii-ekvationen. Med hjälp av laser och magnetfält kan man fånga in Bose-Einstein-kondensatet i en fälla. När fällan har formen av en tunn torus är det rimligt att använda en förenklad modell bestående av den endimensionella icke-linjära... (More)
Bose-Einstein-kondensat är ett tillstånd av materia som kan uppnås när man kyler ner en gas med låg densitet till temperaturer väldigt nära den absoluta nollpunkten. Det observerades för första gången 1995 i en gas av rubidiumatomer men förutspåddes teoretiskt i början av 1900-talet av Bose och Einstein. Kondensatet har bevisats kunna drastiskt bromsa ljusets hastighet eller helt enkelt stanna det. Kondensatet kan beskrivas av en icke-linjär Schrödinger-ekvation som ofta kallas Gross-Pitaevskii-ekvationen. Med hjälp av laser och magnetfält kan man fånga in Bose-Einstein-kondensatet i en fälla. När fällan har formen av en tunn torus är det rimligt att använda en förenklad modell bestående av den endimensionella icke-linjära Schrödinger-ekvationen med periodiska randvillkor. Det är den modellen som undersöks i detta arbete. Speciellt undersöks grundtillståndet för olika värden på en parameter som beskriver hur stark interaktionen är mellan partiklarna i kondensatet. Vi hittar ett kritiskt värde på parametern där det sker en fasövergång. Denna fasövergång har tidigare studerats numeriskt, men vi använder ett mer rigoröst tillvägagångssätt. Vi undersöker också grundtillståndet för ett givet rörelsemängdsmoment (vilket motsvarar att kondensatet roterar). (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
Stolpe, Oscar LU
supervisor
organization
course
MATK01 20162
year
type
M2 - Bachelor Degree
subject
keywords
Nonlinear Schrödinger equation, Standing waves, Bose-Einstein condensate, Variational problem, Elliptic functions
publication/series
Bachelor's Theses in Mathematical Sciences
report number
LUNFMA-4059-2017
ISSN
1654-6229
other publication id
2017:K6
language
English
id
8905602
date added to LUP
2017-04-18 17:17:42
date last changed
2017-04-18 17:17:42
@misc{8905602,
  abstract     = {The nonlinear Schrödinger equation is a partial differential equation which appears as a model in several branches of physics, including Bose-Einstein condensation and hydrodynamics. In this thesis, we investigate a particular class of solutions, namely periodic standing waves. We derive explicit formulas for the solutions using elliptic functions and study their variational properties. The standing waves are critical points of the energy subject to the constraint of fixed mass. In particular, we characterize the constrained minimizers and investigate a phase transition which occurs for a critical value of a parameter in the equation. We also study a second class of solutions which are obtained by seeking critical points of the energy subject to the constraints of fixed mass and angular momentum. This leads to periodic standing waves in a moving reference frame or, equivalently, quasi periodic standing waves in a fixed reference frame. In this case, we are not able to completely identify the minimizers, and instead complement with numerical computations.},
  author       = {Stolpe, Oscar},
  issn         = {1654-6229},
  keyword      = {Nonlinear Schrödinger equation,Standing waves,Bose-Einstein condensate,Variational problem,Elliptic functions},
  language     = {eng},
  note         = {Student Paper},
  series       = {Bachelor's Theses in Mathematical Sciences},
  title        = {Two variational problems related to the nonlinear Schrödinger equation},
  year         = {2017},
}