# LUP Student Papers

## LUND UNIVERSITY LIBRARIES

### The Dirichlet-Neumann iteration – Three-field case: Methods and analyses

(2018) In Master's Theses in Mathematical Sciences NUMM11 20171
Mathematics (Faculty of Engineering)
Abstract
We construct and analyze Dirichlet-Neumann iterations for the 1D Poisson equation. Specifically, we wish to gain insight into how the convergence depends on material coefficients when solving coupled linear heat equations on three non-overlapping domains. We first consider the two-domain case and then extend the method to three domains. A finite element method is used to discretize the Laplacian. Exact formulae are provided for the spectral radii of the iteration matrices for all methods considered. Their validity as predictors for the convergence rates is verified through numerical tests. We show that the different methods for the three-field case have distinct and complementary convergence properties and give an overview of problems,... (More)
We construct and analyze Dirichlet-Neumann iterations for the 1D Poisson equation. Specifically, we wish to gain insight into how the convergence depends on material coefficients when solving coupled linear heat equations on three non-overlapping domains. We first consider the two-domain case and then extend the method to three domains. A finite element method is used to discretize the Laplacian. Exact formulae are provided for the spectral radii of the iteration matrices for all methods considered. Their validity as predictors for the convergence rates is verified through numerical tests. We show that the different methods for the three-field case have distinct and complementary convergence properties and give an overview of problems, specifying which method is the most suitable. (Less)
Popular Abstract (Swedish)
Ofta vill man använda numeriska metoder för att kunna simulera verkligheten. Det kan handla om att simulera rörelser, elektroniska kretsar och mycket annat. Detta arbete handlar framför allt om hur man kan simulera utbredning av värme. I många situationer där man skulle vilja simulera till exempel uppskjutningen av en raket, bromsandet av ett bilhjul eller mekanismen i ett kylskåp – så stöter man på problem där olika material med olika värmeegenskaper ligger i kontant med varandra. Det finns olika metoder för att angripa sådana problem.

I detta arbete utforskas en samling metoder som bygger på den så kallade ”Dirichlet-Neumann-iterationen”. Dessa metoder innebär att man delar upp problemet i flera mindre domäner så att varje material... (More)
Ofta vill man använda numeriska metoder för att kunna simulera verkligheten. Det kan handla om att simulera rörelser, elektroniska kretsar och mycket annat. Detta arbete handlar framför allt om hur man kan simulera utbredning av värme. I många situationer där man skulle vilja simulera till exempel uppskjutningen av en raket, bromsandet av ett bilhjul eller mekanismen i ett kylskåp – så stöter man på problem där olika material med olika värmeegenskaper ligger i kontant med varandra. Det finns olika metoder för att angripa sådana problem.

I detta arbete utforskas en samling metoder som bygger på den så kallade ”Dirichlet-Neumann-iterationen”. Dessa metoder innebär att man delar upp problemet i flera mindre domäner så att varje material får sin en egen domän. Man löser sedan ekvationer för en domän i taget men låter de olika domänerna ha kontakt genom randvärden. Resultatet blir en så kallad iterativ metod, det vill säga att metoden arbetar i upprepade steg där varje steg använder förra stegets resultat som sina begynnelsevärden. I första iterationen har man inte något tidigare resultat och då börjar man istället med en gissning. I detta arbete fokuserar vi på fallet med tre domäner.

Man önskar att iterativa metoder ska vara konvergenta, det vill säga att de så småningom ska nå en entydig stabil lösning. För de metoder som analyseras så beror konvergensen på förhållanden mellan de olika materialens värmeegenskaper. Arbetets mål är att kunna förutsäga om och hur snabbt en metod når rätt lösning beroende på vilka material som simuleras.

Arbetet gör en fullständig analys för tre olika metoder och visar att deras konvergensbeteenden är väldigt olika och att de därför passar till olika typer av problem för skilda kombinationer av material. Det avslutas med några exempel på tänkbara tillämpningar där det specificeras vilken metod som är mest lämplig. (Less)
author
supervisor
organization
alternative title
Dirichlet-Neumann-iterationen – Metoder och analyser i fallet med tre domäner
course
NUMM11 20171
year
type
H2 - Master's Degree (Two Years)
subject
keywords
Dirichlet-Neumann, three field, three domains, Laplace equation, Poisson equation, coupled heat equations, steady-state
publication/series
Master's Theses in Mathematical Sciences
report number
LUNFNA-3026-2018
ISSN
1404-6342
other publication id
2018:E10
language
English
id
8937221
2018-05-30 17:46:40
date last changed
2018-05-30 17:46:40
```@misc{8937221,
abstract     = {We construct and analyze Dirichlet-Neumann iterations for the 1D Poisson equation. Specifically, we wish to gain insight into how the convergence depends on material coefficients when solving coupled linear heat equations on three non-overlapping domains. We first consider the two-domain case and then extend the method to three domains. A finite element method is used to discretize the Laplacian. Exact formulae are provided for the spectral radii of the iteration matrices for all methods considered. Their validity as predictors for the convergence rates is verified through numerical tests. We show that the different methods for the three-field case have distinct and complementary convergence properties and give an overview of problems, specifying which method is the most suitable.},
author       = {Dravins, Ivo},
issn         = {1404-6342},
keyword      = {Dirichlet-Neumann,three field,three domains,Laplace equation,Poisson equation,coupled heat equations,steady-state},
language     = {eng},
note         = {Student Paper},
series       = {Master's Theses in Mathematical Sciences},
title        = {The Dirichlet-Neumann iteration – Three-field case: Methods and analyses},
year         = {2018},
}

```