Density Functional Theory for the Hubbard-Holstein model

Abstract

The physics of interacting many-body systems is a very complex and challenging subject. Therefore one in general needs to use simplified models and approximate methods for studying these systems theoretically. In this work we study the exchange-correlation (xc) potential for the Hubbard-Holstein (HH) model for the application of Density Functional Theory (DFT) to the same.

The Hohenberg-Kohn theorem and the two sets of Kohn-Sham equations are derived for the HH-model extending a procedure outlined in previous work. The xc-potentials for the fermions and bosons respectively are then derived analytically as functions of the density $n$ and phononic displacement $x$ for a single HH-site in contact with a heat bath, generalizing the procedure for the pure Hubbard model. The potential for the HH-site is found to have a smaller gap at half filling than for the Hubbard model, due to a rescaling of the effective electron-electron interaction. It also has an additional term linear in $(n-1)$. The xc-potentials are used to study two simple systems, an Andersson impurity dimer and a four-site chain of HH-sites. The results are compared to those of an exact solution and to the Hartree-Fock (HF) solution. For the dimer the DFT-method performs consistently better than the HF-method, while the results for the chain are more ambiguous.

However, the central result of this thesis is to produce xc-potentials for an infinitely coordinated Bethe lattice, using Dynamical Mean Field Theory (DMFT). The potentials for a small but representative set of interaction parameters are presented and compared to the analytical potential. The potentials are similar in that they do not exhibit much structure, and they behave very similarly far from half filling. Close to half filling they show more differences, as the analytic potential is always discontinuous around half filling while the potential attained via DMFT is only discontinuous for large electron-electron interactions.

Popular Abstract (Swedish)

En av de absolut största utmaningarna inom modern fysik är att beskriva beteendet hos system som består av många partiklar eller föremål som alla interagerar med varandra, så kallade interagerande mångkroppssystem. Solsystemet är ett sådant system, där solen, planeterna och alla månar interagerar med varandra genom tyngdkraften.

En annan typ av mångkroppsystem är kristaller. En kristall består av en eller flera sorters atomer som bildar ett regelbundet mönster. I en kristall interagerar alla elektroner och atomkärnor med varandra, och det är således tydligt att kristaller är väldigt komplexa system. Många fasta material är kristaller - till exempel diamant, is och de flesta moderna elektronikkomponenter - och därför är det viktigt att förstå olika kristallers egenskaper.

Att beskriva ett mångkroppsystem exakt blir omöjligt redan för något tiotal partiklar, eftersom inte ens moderna superdatorer har tillräckligt med minne och processorkraft för att hantera så komplexa problem. För att kunna förstå hur en kristall fungerar måste man därför förenkla problemet på flera olika sätt. Mycket forskning handlar därför om att lista ut hur olika olösliga problem kan förenklas så att de kan lösas, men trots förenklingarna ge information om det riktiga systemet.

I det här projektet har vi studerat en kristall med hjälp av två huvudsakliga förenklingar. Första förenklingen är att elektronerna bara interagerar med andra elektroner som rör sig kring samma atomkärna, samt med den atomkärna de rör sig kring. De olika atomkärnorna interagerar inte alls med varandra. En sådan förenkling kallas modell, eftersom den beskriver huvuddragen och vissa detaljer hos en riktig kristall, men saknar andra detaljer. Det innebär att olika modeller är lämpliga för att beskriva olika kristaller. Den andra förenklingen behövs för att lösa kristallmodellen. Trots att modellen är enkel relativt en riktig kristall så är även den olöslig för de flesta system. Därför använder man olika metoder för att göra en ungefärlig lösning av modellen. En sådan lösning stämmer t. ex. bara för vissa typer av modeller, eller om partiklarna bara interagerar litegrand.

Metoden vi har undersökt kallas täthetsfunktionalteori (DFT). I den här metoden så löser man inte det interagerande mångkroppsystemet utan ett hjälpsystem där partiklarna inte interagerar, eftersom det är mycket lättare att lösa. Partiklarna i de båda systemet måste dock bete sig likadant, vilket kan åstadkommas genom att placera hjälpsystemet i en miljö som ger upphov till rätt beteende. Problemet med DFT är att man måste veta hur den här miljön ser ut. Miljön kan konstrueras genom att lösa systemet med en mer avancerad metod som inte behöver ett icke-interagerande hjälpsystem, men som tar väldigt mycket längre tid. Väl miljön är känd kan man använda DFT för att studera mer komplicerade system, och det skulle dessutom ta mindre tid. Det finns alltså mycket att vinna på att ta fram den här miljön för olika typer av modeller, och DFT används och har använts mycket inom kemin för att undersöka olika molekyler. En av grundarna av metoden tog till och med emot Nobelpriset 1998 för sitt arbete, så det råder ingen tvekan om hur användbar DFT-metoden är.

• author: Helmer, Pernilla
• supervisor: Claudio Verdozzi; Emil Boström
• organization: Mathematical Physics; Department of Physics
• course: FYSM60 20171
• year: 2018
• type: H2 - Master's Degree (Two Years)
• subject: Physics and Astronomy
• keywords: density functional theory, hubbard, holstein, bethe lattice, cayley tree, dynamical mean field theory, exchange, correlation, exchange correlation potential, xc-potential, Hxc-potential
• language: English
• id: 8937238
• date added to LUP: 2018-04-04 10:58:22
• date last changed: 2019-09-10 13:51:15