# LUP Student Papers

## LUND UNIVERSITY LIBRARIES

### Partitioned Multirate Time Integration for Coupled Systems of Ordinary Differential Equations

(2018) In Master's Theses in Mathematical Sciences FMNM01 20181
Mathematics (Faculty of Engineering)
Abstract
In this thesis a new method for the numerical solution of coupled systems of ordinary differential equations is investigated. To understand this new method, the workings of existing Waveform iteration methods, in particular the Jacobi and Gauß-Seidel methods were explored first. These methods were introduced to be able to exploit multirate behaviour in systems and use an iterative procedure to successively approximate the solution of the problem. The new multirate time integration method is similar to these methods, but introduces a new way of parallelising the time integration, thereby improving performance over the existing methods. In this work an analysis of the performance of the Jacobi and Gauß-Seidel method when applied to linear... (More)
In this thesis a new method for the numerical solution of coupled systems of ordinary differential equations is investigated. To understand this new method, the workings of existing Waveform iteration methods, in particular the Jacobi and Gauß-Seidel methods were explored first. These methods were introduced to be able to exploit multirate behaviour in systems and use an iterative procedure to successively approximate the solution of the problem. The new multirate time integration method is similar to these methods, but introduces a new way of parallelising the time integration, thereby improving performance over the existing methods. In this work an analysis of the performance of the Jacobi and Gauß-Seidel method when applied to linear systems is done, both for a singlerate setting as well as a multirate setting. This analysis is then compared to numerical simulations of the waveform iteration methods, as well as the new multirate time integration method. The results look promising for the new method, having a superior performance compared to the waveform iteration methods for almost all test cases when applied to the heat equation. (Less)
Popular Abstract (Swedish)
Tänk dig att två musikanter ska öva ett musikstycke tillsammans. De kan var sin del för sitt instrument, men de har aldrig spelat tillsammans. Nu är det så att musikanterna sitter i två olika rum och inte kan höra eller se varandra under inspelningen, utan de kan bara höra slutresultatet. Det låter såklart inte alls bra och kommer krävas många försök innan de börjar bli samspelta. När musikerna får spela i samma rum tar det mycket kortare tid innan de når resultat.
Precis som exemplet ovan finns det även inom ingenjörsväsendet många problem där flera delar samverkar. Ett exempel på ett sådant system är blodkärl, där kärlets form påverkas av blodtryck och blodflöded samt att blodflödet påverkas av kärlets form. När två system är beroende... (More)
Tänk dig att två musikanter ska öva ett musikstycke tillsammans. De kan var sin del för sitt instrument, men de har aldrig spelat tillsammans. Nu är det så att musikanterna sitter i två olika rum och inte kan höra eller se varandra under inspelningen, utan de kan bara höra slutresultatet. Det låter såklart inte alls bra och kommer krävas många försök innan de börjar bli samspelta. När musikerna får spela i samma rum tar det mycket kortare tid innan de når resultat.
Precis som exemplet ovan finns det även inom ingenjörsväsendet många problem där flera delar samverkar. Ett exempel på ett sådant system är blodkärl, där kärlets form påverkas av blodtryck och blodflöded samt att blodflödet påverkas av kärlets form. När två system är beroende av varandra säger man att systemen är kopplade. De metoder vi har tittat på i detta arbete är till för att lösa just denna typen av problem.
Metoderna kallas waveform iteration methods, vilket i princip betyder att vi tillämpar samma procedur flera gånger, iterationer, och att lösningen blir lite bättre efter vare iteration. De befintliga metoder är dock precis som första scenariot med musikerna inte optimal. Information byts inte ut direkt vilket gör att det krävs många iterationer för att få en bra lösning. Eftersom det tar tid att lösa dessa problem och vi vill kunna lösa de snabbare letar vi därför efter nya snabbare metoder. Ett sätt är att låta systemen kommunicera mera med varandra. Som exemplet med musikerna kan man tänka sig att man därför snabbare kommer till resultatet.
Att implementera den nya metoden är inte helt lätt. Kommunikationen mellan systemen blir betydligt mer komplicerad och svårförståelig. Resultatet är dock att den nya metoden i de allra flesta av testfallen är betydligt snabbare än de befintliga metoderna. I vissa testfall var den till och med nästan dubbelt så snabb!
Det som kvarstår är att förstå denna metoden lite bättre från ett matematiskt perspektiv. Det skulle också vara intressant att testa den nya metoden i en ordentlig tillämpning som exempelvis en simulation av blodflöden. För att metoden verkligen ska kunna användas behöver det påvisas att den är användbar även vid sådana större system. (Less)
author
supervisor
organization
course
FMNM01 20181
year
type
H2 - Master's Degree (Two Years)
subject
keywords
Waveform iteration, waveform relaxation, multirate time integration, parallel computing
publication/series
Master's Theses in Mathematical Sciences
report number
LUTFNA-3045-2018
ISSN
1404-6342
other publication id
2018:E29
language
English
id
8951664
2018-09-21 16:48:02
date last changed
2018-10-11 16:18:56
```@misc{8951664,
abstract     = {{In this thesis a new method for the numerical solution of coupled systems of ordinary differential equations is investigated. To understand this new method, the workings of existing Waveform iteration methods, in particular the Jacobi and Gauß-Seidel methods were explored first. These methods were introduced to be able to exploit multirate behaviour in systems and use an iterative procedure to successively approximate the solution of the problem. The new multirate time integration method is similar to these methods, but introduces a new way of parallelising the time integration, thereby improving performance over the existing methods. In this work an analysis of the performance of the Jacobi and Gauß-Seidel method when applied to linear systems is done, both for a singlerate setting as well as a multirate setting. This analysis is then compared to numerical simulations of the waveform iteration methods, as well as the new multirate time integration method. The results look promising for the new method, having a superior performance compared to the waveform iteration methods for almost all test cases when applied to the heat equation.}},
author       = {{Kranenborg, Joost}},
issn         = {{1404-6342}},
language     = {{eng}},
note         = {{Student Paper}},
series       = {{Master's Theses in Mathematical Sciences}},
title        = {{Partitioned Multirate Time Integration for Coupled Systems of Ordinary Differential Equations}},
year         = {{2018}},
}

```