Some Aspects of Elementary Lie Theory
(2018) In Bachelor’s Theses in Mathematical Sciences MATK01 20181Mathematics (Faculty of Sciences)
- Abstract
- In this work, we present some of the basic concepts and constructions in the theory of matrix Lie groups. For each matrix Lie group, we use the matrix exponential to construct a Lie algebra, and we then use the matrix exponential to show how different properties of the Lie group affect the Lie algebra and vice versa. In particular, we use the Baker–Campbell–Hausdorff formula to prove a one-to-one correspondence between the representations of a path-connected, simply connected matrix Lie group and the representations of its Lie algebra. The physically motivated groups SO(3) and SU(2) are used as a case study.
- Popular Abstract (Swedish)
- Det här arbetet ger en enkel introduktion till teorin för så kallade Lie-grupper (uppkallade efter den norske matematikern Sophus Lie), som är en slags matematiska objekt som befinner sig i gränslandet mellan två av matematikens huvudområden: geometri och algebra.
Å ena sidan kan Lie-grupper betraktas som släta mångfalder, vilket betyder att de är kurvor, ytor eller högre-dimensionella analoger som är släta i bemärkelsen att vi till varje punkt kan passa en tangentlinje, ett tangentplan eller ett högre-dimensionellt tangentrum som precis ”tangerar” Lie-gruppen. Samtidigt kan vi på Lie-gruppen definiera en algebraisk gruppoperation, ett slags ”räknesätt” i stil med vanlig multiplikation, sådant att det dels finns en analog till den... (More) - Det här arbetet ger en enkel introduktion till teorin för så kallade Lie-grupper (uppkallade efter den norske matematikern Sophus Lie), som är en slags matematiska objekt som befinner sig i gränslandet mellan två av matematikens huvudområden: geometri och algebra.
Å ena sidan kan Lie-grupper betraktas som släta mångfalder, vilket betyder att de är kurvor, ytor eller högre-dimensionella analoger som är släta i bemärkelsen att vi till varje punkt kan passa en tangentlinje, ett tangentplan eller ett högre-dimensionellt tangentrum som precis ”tangerar” Lie-gruppen. Samtidigt kan vi på Lie-gruppen definiera en algebraisk gruppoperation, ett slags ”räknesätt” i stil med vanlig multiplikation, sådant att det dels finns en analog till den vanliga 1:an och dels en analog till vanlig division. Det som utmärker Lie-grupper är att dessa två perspektiv – det geometriska och det algebraiska – är kompatibla med varandra, på ett sådant sätt att gruppoperationen är ”oändligt deriverbar” (i en viss specifik mening). Det är konsekvenserna av denna samverkan mellan geometri och algebra som denna uppsats är tänkt att ge en introduktion till.
Ett enkelt exempel på en Lie-grupp är den vanliga enhetscirkeln i planet. Dels är cirkeln en slät kurva, och dels kan varje punkt på cirkeln representeras av en vinkel (t.ex. mätt från x-axeln), vilket möjliggör en enkel gruppoperation definierad som addition av operandernas vinklar. Ett annat exempel, som vi fokuserar extra mycket på i denna uppsats, är SO(3), som är mängden av alla rotationer runt en fix punkt som kan utföras i tre dimensioner.
En av anledningarna till att matematiker intresserar sig för Lie-grupper är att de kan användas för att undersöka olika typer av symmetrier hos vektorer. Läran om hur grupper på detta vis interagerar med vektorer kallas för representationsteori, och är intressant, bland annat eftersom många fenomen i fysiken kan beskrivas med hjälp av vektorer, och dessutom ofta innefattar någon form av fysikalisk symmetri. Exempelvis kan SO(3) användas för att bättre förstå rotationssymmetrin hos lösningarna till Schrödinger-ekvationen för en väteatom.
Ett viktigt verktyg i studiet av Lie-grupper är de tidigare nämnda tangentrummen. Som en del av arbetet visar vi att det i vissa fall är möjligt att ”översätta” fram och tillbaka mellan frågor om en Lie-grupp och frågor om tangentrummet vid 1:an (detta tangentrum kallas för Lie-gruppens Lie-algebra). Detta förenklar det matematiska arbetet avsevärt, eftersom linjer, plan och högre-dimensionella rum har en enklare struktur än Lie-grupper. Tyvärr visar sig det här angreppssättet ha begränsningar när det gäller bland annat just SO(3), eftersom SO(3) inte är vad man kallar för enkelt sammanhängande utan har ”topologiska hålrum” i sig. I slutet av arbetet visar vi dock att detta problem går att komma runt, i vart fall när det gäller SO(3), genom att undersöka en besläktad Lie-grupp, som kallas för SU(2), som ”täcker över” SO(3) på ett sådant sätt att de problematiska ”hålrummen” försvinner. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
http://lup.lub.lu.se/student-papers/record/8957139
- author
- Henriksson, Oskar LU
- supervisor
-
- Arne Meurman LU
- organization
- course
- MATK01 20181
- year
- 2018
- type
- M2 - Bachelor Degree
- subject
- keywords
- Lie groups, matrix Lie groups, Lie algebras, Lie correspondence, representation theory, rotation group
- publication/series
- Bachelor’s Theses in Mathematical Sciences
- report number
- LUNFMA-4077-2018
- ISSN
- 1654-6229
- other publication id
- 2018:K19
- language
- English
- id
- 8957139
- date added to LUP
- 2018-08-30 14:26:10
- date last changed
- 2020-01-24 09:00:54
@misc{8957139,
abstract = {{In this work, we present some of the basic concepts and constructions in the theory of matrix Lie groups. For each matrix Lie group, we use the matrix exponential to construct a Lie algebra, and we then use the matrix exponential to show how different properties of the Lie group affect the Lie algebra and vice versa. In particular, we use the Baker–Campbell–Hausdorff formula to prove a one-to-one correspondence between the representations of a path-connected, simply connected matrix Lie group and the representations of its Lie algebra. The physically motivated groups SO(3) and SU(2) are used as a case study.}},
author = {{Henriksson, Oskar}},
issn = {{1654-6229}},
language = {{eng}},
note = {{Student Paper}},
series = {{Bachelor’s Theses in Mathematical Sciences}},
title = {{Some Aspects of Elementary Lie Theory}},
year = {{2018}},
}