Advanced

Some Nonlinear Diophantine Equations

Koronen, Alexander LU (2017) In Bachelor's Theses in Mathematical Sciences MATK01 20162
Mathematics (Faculty of Sciences)
Abstract
This thesis deals with some special types of Diophantine equations. Two classic cases of Fermat's equation are shown to have no nontrivial integer solutions, using two different approaches. The rest of the thesis deals with some instances of y^2=x^3+k, commonly known as Mordell's equation. In most cases, no integer solutions exist.
Popular Abstract (Swedish)
En diofantisk ekvation är en polynomekvation i två eller flera variabler, där polynomet har heltalskoefficienter och man söker heltalslösningar. Det enklaste (och kanske mest praktiskt användbara) fallet är det linjära, ax+by=c. I sådant fall är det enkelt att hitta lösningar (x,y), eller visa att inga lösningar existerar, med hjälp av Euklides algoritm eller kedjebråk. För diofantiska ekvationer av högre grad är det generellt mycket svårare. I den här uppsatsen undersöks några ekvationer av grad 3 och 4, som i de flesta fall saknar heltalslösningar.

Två av kapitlen behandlar specialfall av Fermats ekvation, x^n+y^n=z^n, som är en av de mest kända ekvationerna inom talteorins och matematikens historia i allmänhet. Förutom det uråldriga... (More)
En diofantisk ekvation är en polynomekvation i två eller flera variabler, där polynomet har heltalskoefficienter och man söker heltalslösningar. Det enklaste (och kanske mest praktiskt användbara) fallet är det linjära, ax+by=c. I sådant fall är det enkelt att hitta lösningar (x,y), eller visa att inga lösningar existerar, med hjälp av Euklides algoritm eller kedjebråk. För diofantiska ekvationer av högre grad är det generellt mycket svårare. I den här uppsatsen undersöks några ekvationer av grad 3 och 4, som i de flesta fall saknar heltalslösningar.

Två av kapitlen behandlar specialfall av Fermats ekvation, x^n+y^n=z^n, som är en av de mest kända ekvationerna inom talteorins och matematikens historia i allmänhet. Förutom det uråldriga fallet x^2+y^2=z^2 (Pythagoras sats!), så var det första fallet som behandlades n=4. Detta gjordes av Fermat redan på 1600-talet (därav namnet!). Han påstod sig även kunna visa att x^n+y^n=z^n saknar icketriviala heltalslösningar för alla n större än 2, men det är högst troligt att han inte hade något (korrekt) bevis. Detta blev känt som Fermats stora sats. Även om många specialfall bevisades av diverse matematiker under de följande århundradena, så var det inte förrän på 1990-talet som satsen bevisades i full generalitet av den brittiska matematikern Andrew Wiles. På vägen utvecklades mycket ny matematisk teori, som visade sig vara mycket användbar även i andra områden av matematiken.

Vidare behandlas även flera fall av ekvationen y^2=x^3+k, numera känd som Mordells ekvation. Även denna ekvation studerades i ett specifikt fall av Fermat (utan bevis), i flera andra specialfall av diverse matematiker, och i större generalitet under 1900-talet, då av bland andra Louis Mordell. Han bevisade t.ex. att det endast finns ändligt många lösningar till ekvationen för varje specifikt värde k. Vår studie av ekvationen grundar sig i hög grad på två olika tekniker som gås igenom i Mordells bok ”Diophantine Equations”. Den ena tekniken är baserad på teorin för kongruensräkning, och den andra bygger på aritmetik i mer generella algebraiska strukturer, som till viss del skiljer sig från de vanliga heltalen. Om man istället för heltal söker lösningar i rationella tal (x,y) så leds man till teorin för elliptiska kurvor, som kräver djupare matematik än vad som ryms i denna uppsats, men har viktiga tillämpningar inom matematisk kryptering. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
Koronen, Alexander LU
supervisor
organization
course
MATK01 20162
year
type
M2 - Bachelor Degree
subject
keywords
Diophantine Equations, Congruences, Euclidean Domains
publication/series
Bachelor's Theses in Mathematical Sciences
report number
LUNFMA-4056-2017
ISSN
1654-6229
other publication id
2017:K2
language
English
id
8957778
date added to LUP
2018-11-05 16:48:10
date last changed
2018-11-05 16:48:10
@misc{8957778,
  abstract     = {This thesis deals with some special types of Diophantine equations. Two classic cases of Fermat's equation are shown to have no nontrivial integer solutions, using two different approaches. The rest of the thesis deals with some instances of y^2=x^3+k, commonly known as Mordell's equation. In most cases, no integer solutions exist.},
  author       = {Koronen, Alexander},
  issn         = {1654-6229},
  keyword      = {Diophantine Equations,Congruences,Euclidean Domains},
  language     = {eng},
  note         = {Student Paper},
  series       = {Bachelor's Theses in Mathematical Sciences},
  title        = {Some Nonlinear Diophantine Equations},
  year         = {2017},
}