Skip to main content

LUP Student Papers

LUND UNIVERSITY LIBRARIES

The Hanging Rope: A Convex Optimization Problem in the Calculus of Variations

Steen, Erik LU (2020) In Master's Theses in Mathematical Sciences FMAM05 20192
Mathematics (Faculty of Engineering)
Abstract
We study the problem first introduced by Verma and Keller in 1984 of how to taper a heavy rope such that its elongation is minimized. The problem is stated as an optimization problem of a functional J[w]. Specifically we provide a proof of optimality for the solution using traditional convex optimization techniques. We also utilize the Legendre transformation when studying the Euler–Lagrange equation — this is nice because it sheds some light on the structure of the solution in a natural way. In the last section we consider a similar problem but where the functional J is a function of itself; J = J[w,J]. This problem is unfortunately not solved but might be subject to future research.
Popular Abstract (Swedish)
Tänk dig att du har en tung elastiskt stång som hänger ner från ett fäste i taket och töjs ut, dels på grund av sin egentyngd och dels på grund av en extra tyngd som är fastsatt i botten av stången. Det skulle till exempel kunna vara ett rör som går från en oljerigg (taket) ner mot havets botten där en borr är fastsatt (tyngden). Vi kan styra hur mycket stången kommer töjas genom att justera tvärsnittsarean vilken inte behöver vara konstant längs hela stången. Man kan intuitivt se att en istappsliknande stång kommer töjas minre än en än en stång formad som en vattendroppe. Men hur ser den optimala formen ut, givet att vi vill minimera förlängningen? Detta problemet behandlar jag i mitt examensarbete med en metoden som kallas... (More)
Tänk dig att du har en tung elastiskt stång som hänger ner från ett fäste i taket och töjs ut, dels på grund av sin egentyngd och dels på grund av en extra tyngd som är fastsatt i botten av stången. Det skulle till exempel kunna vara ett rör som går från en oljerigg (taket) ner mot havets botten där en borr är fastsatt (tyngden). Vi kan styra hur mycket stången kommer töjas genom att justera tvärsnittsarean vilken inte behöver vara konstant längs hela stången. Man kan intuitivt se att en istappsliknande stång kommer töjas minre än en än en stång formad som en vattendroppe. Men hur ser den optimala formen ut, givet att vi vill minimera förlängningen? Detta problemet behandlar jag i mitt examensarbete med en metoden som kallas variationskalkyl. Det är ett mycket fascinerande område inom matematiken där man med relativt enkla medel kommer fram till lösningar på till synes ganska svåra problem. Idén är att man låtsas att man har hittat den optimala lösningen och sedan varierar den för att se om det blir bättre eller sämre. Om vi kan hitta en lösning där alla variationer leder till ett sämre resultat är vi i mål.


Problemställningen kan lätt modifieras för att täcka andra applikationer. Om vi bestämmer oss för en viss tvärsnittsarea och istället varierar densiteten längs med stången kan vi även styra hur snabbt värme sprider sig genom den. Detta är något som skulle kunna förbättra värmesköldar på rymdfarkoster som ska återvända till atmosfären. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
Steen, Erik LU
supervisor
organization
course
FMAM05 20192
year
type
H2 - Master's Degree (Two Years)
subject
keywords
Elasticity theory, non-linear materials, calculus of variation, convex analysis, Legendre transform
publication/series
Master's Theses in Mathematical Sciences
report number
LUTFMA-3405-2020
ISSN
1404-6342
other publication id
2020:E21
language
English
id
9008636
date added to LUP
2020-06-10 13:18:57
date last changed
2020-06-10 13:18:57
@misc{9008636,
  abstract     = {{We study the problem first introduced by Verma and Keller in 1984 of how to taper a heavy rope such that its elongation is minimized. The problem is stated as an optimization problem of a functional J[w]. Specifically we provide a proof of optimality for the solution using traditional convex optimization techniques. We also utilize the Legendre transformation when studying the Euler–Lagrange equation — this is nice because it sheds some light on the structure of the solution in a natural way. In the last section we consider a similar problem but where the functional J is a function of itself; J = J[w,J]. This problem is unfortunately not solved but might be subject to future research.}},
  author       = {{Steen, Erik}},
  issn         = {{1404-6342}},
  language     = {{eng}},
  note         = {{Student Paper}},
  series       = {{Master's Theses in Mathematical Sciences}},
  title        = {{The Hanging Rope: A Convex Optimization Problem in the Calculus of Variations}},
  year         = {{2020}},
}