Lyapunov exponents for the double pendulum and their fractal nature
(2022) FYTK02 20221Theoretical Particle Physics - Undergoing reorganization
- Abstract
- The Lyapunov exponent is a wide-reaching and useful tool for the analysis of chaotic systems. In this thesis, we go through the necessary mathematical and computational framework to extract both the maximum Lyapunov exponent and Lyapunov spectrum for the double pendulum system. An analysis of the maximum exponent through time and the validity of Liouville's theorem were conducted, showing good agreement with theory and preceding works. In addition to this, the maximal exponent was calculated for a range of initial angular configurations and even in the whole angular state space. This last result showed maximal exponent heatmaps with fractal structures similar to previously observed structures based on double pendulum flipping time. A... (More)
- The Lyapunov exponent is a wide-reaching and useful tool for the analysis of chaotic systems. In this thesis, we go through the necessary mathematical and computational framework to extract both the maximum Lyapunov exponent and Lyapunov spectrum for the double pendulum system. An analysis of the maximum exponent through time and the validity of Liouville's theorem were conducted, showing good agreement with theory and preceding works. In addition to this, the maximal exponent was calculated for a range of initial angular configurations and even in the whole angular state space. This last result showed maximal exponent heatmaps with fractal structures similar to previously observed structures based on double pendulum flipping time. A discussion on the potential applications of these heatmaps to other chaotic systems was included. (Less)
- Popular Abstract (Swedish)
- De flesta människorna vill ha kunskap om sin omgivning, människorna som de umgås med och om framtiden; människor älskar ordning och reda. Vi bygger våra liv kring fastställda regler och rutiner sedan tidig ålder. Det är kanske därför vi är så rädda för det okända, vilket är synd då många av de intressanta och underbara fenomenen i vår värld är oförutsägbara och genomsyrade av kaos. Vetenskapen har i stort sett alltid baserat sig på att analysera system med precision genom att utnyttja symmetrier och förutsägbara beteenden. Det är därför det växande forskningsområdet inom kaosteori är så intressant, eftersom avviker från det förutsägbara och försöker förstå naturligt oförutsägbara fenomen. Mitt examensarbete undersöker ett område inom... (More)
- De flesta människorna vill ha kunskap om sin omgivning, människorna som de umgås med och om framtiden; människor älskar ordning och reda. Vi bygger våra liv kring fastställda regler och rutiner sedan tidig ålder. Det är kanske därför vi är så rädda för det okända, vilket är synd då många av de intressanta och underbara fenomenen i vår värld är oförutsägbara och genomsyrade av kaos. Vetenskapen har i stort sett alltid baserat sig på att analysera system med precision genom att utnyttja symmetrier och förutsägbara beteenden. Det är därför det växande forskningsområdet inom kaosteori är så intressant, eftersom avviker från det förutsägbara och försöker förstå naturligt oförutsägbara fenomen. Mitt examensarbete undersöker ett område inom kaosteori genom att beräkna och utforska Lyapunov-exponenterna för dubbelpendel systemet.
Dubbelpendeln är ett relativt enkelt system som bara består av två tyngder och stavar kopplade tillsammans, men trots det så uppvisar systemet extremt kaotiska rörelser. Med kaotisk så menas att även extremt små avvikelser i dubbelpendelns starttillstånd resulterar i att olika banor observeras under andatagandet att tillräckligt med tid är givet. Det här är i motsats till den enkla pendeln, vars rörelse är mycket periodisk och banan är relativt enkel. Det är just därför som den dubbla pendeln är så intressant då bara genom att lägga till en ytterligare frihetsgrad (den andra tyngden) så observerar man kaos. Det bör dock noteras att även om systemet är kaotiskt, betyder det inte att vi inte kan säga något om det eller beskriva det till en viss grad. Det är vad huvuddelen av min avhandling handlar om, att använda Lyapunov-exponenter för att få kunskap om systemet.
Med enkla ord är Lyapunov-exponenten ett sätt att relatera hur mycket ett system med två liknande startvillkor kommer att avvika med tiden och förväntningen är att dubbelpendeln följer en exponentiell avvikelse då det är ett kaotiskt system. Även om Lyapunov-exponenten verkar som en enkel beskrivning så har den breda tillämpningar. Exempelvis, även om själva Lyapunov-exponenten är begränsad i den tid som den kan ge korrekta förutsägelser, fungerar den fortfarande som ett bra mått på med vilken säkerhet man kan känna till ett systems utveckling med tid. Den kan även omvänt berätta för oss med vilken säkerhet vi måste känna till ett systems startvillkor för att garantera ett visst beteende med tiden. Dessutom, även om en leksaksmodell som dubbelpendeln inte är särskilt praktisk i verkligheten, är den här metoden av Lyapunov-exponenter tillämpbar på mer komplexa kaotiska system. För att inte tala om den redan etablerade tillämpningen av Lyapunov-exponenter inom områden som kvantmekanik och fluidmekanik, undersöker min avhandling begränsningar och potentiella förlängningar av Lyapunov-exponenterna och särskilt när det gäller visualiseringsmetoder och deras relation till fraktal dynamik i hopp om att det ska kunna förlängas bortom dubbelpendeln. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
http://lup.lub.lu.se/student-papers/record/9090199
- author
- Jasarevic, Dzemail LU
- supervisor
-
- Roman Pasechnik LU
- Jarkko Peuron LU
- organization
- course
- FYTK02 20221
- year
- 2022
- type
- M2 - Bachelor Degree
- subject
- keywords
- Lyapunov exponents, Chaos, Fractal, Lyapunov Spectrum, Double pendulum
- language
- English
- id
- 9090199
- date added to LUP
- 2022-06-23 11:20:05
- date last changed
- 2022-06-29 15:04:06
@misc{9090199,
abstract = {{The Lyapunov exponent is a wide-reaching and useful tool for the analysis of chaotic systems. In this thesis, we go through the necessary mathematical and computational framework to extract both the maximum Lyapunov exponent and Lyapunov spectrum for the double pendulum system. An analysis of the maximum exponent through time and the validity of Liouville's theorem were conducted, showing good agreement with theory and preceding works. In addition to this, the maximal exponent was calculated for a range of initial angular configurations and even in the whole angular state space. This last result showed maximal exponent heatmaps with fractal structures similar to previously observed structures based on double pendulum flipping time. A discussion on the potential applications of these heatmaps to other chaotic systems was included.}},
author = {{Jasarevic, Dzemail}},
language = {{eng}},
note = {{Student Paper}},
title = {{Lyapunov exponents for the double pendulum and their fractal nature}},
year = {{2022}},
}