Skip to main content

LUP Student Papers

LUND UNIVERSITY LIBRARIES

Sampling and Interpolation in Paley-Wiener spaces

Olsson, Clara LU (2023) In Bachelor’s Theses in Mathematical Sciences MATK11 20222
Mathematics (Faculty of Engineering)
Mathematics (Faculty of Sciences)
Centre for Mathematical Sciences
Abstract
This work investigates Shannon’s sampling theorem and Landau’s density theorem
for sampling and interpolation for functions in Paley-Wiener spaces, with the main
focus on the latter result. We begin by defining Paley-Wiener spaces of bandlimited
functions and briefly discuss a proof of the Paley-Wiener theorem for entire functions
of exponential type. We then present Shannon’s classical sampling theorem for
bandlimited functions with Fourier spectrum in a compact interval. When the Fourier
spectrum is disconnected, sampling and interpolation is a more delicate issue. The
main goal of this thesis is to present and prove Landau’s necessary conditions for
sampling and interpolation of bandlimited functions with Fourier spectrum in a... (More)
This work investigates Shannon’s sampling theorem and Landau’s density theorem
for sampling and interpolation for functions in Paley-Wiener spaces, with the main
focus on the latter result. We begin by defining Paley-Wiener spaces of bandlimited
functions and briefly discuss a proof of the Paley-Wiener theorem for entire functions
of exponential type. We then present Shannon’s classical sampling theorem for
bandlimited functions with Fourier spectrum in a compact interval. When the Fourier
spectrum is disconnected, sampling and interpolation is a more delicate issue. The
main goal of this thesis is to present and prove Landau’s necessary conditions for
sampling and interpolation of bandlimited functions with Fourier spectrum in a union
of compact disjoint intervals. For the proof of this we use the approach by Nitzan
and Olevskii [9] based on the theory of frames in Hilbert spaces. (Less)
Popular Abstract (Swedish)
All kommunikation består av signaler. Ljud, bilder, filmer och rörelser och exempel på olika signaler. Signaler har en sändare och en mottagare. Om sändaren har konstruerat signalen på ett bra sätt, blir det lättare för mottagaren att återskapa och förstå sändarens ursprungliga meddelande. Ur ett matematiskt perspektiv är signaler funktioner som beskriver hur en signal förändras i exempelvis tid, rum eller frekvens.

Signaler inom TV, radio och elektronik består av ett antal vågrörelser i olika frekvenser. Dessa är exempel på signaler som skickas ut utan avbrott och kallas för kontinuerliga signaler. För en mottagare är det energikrävande, om inte omöjligt, att konstant mäta och beräkna signalen. Därför är det av intresse att hitta... (More)
All kommunikation består av signaler. Ljud, bilder, filmer och rörelser och exempel på olika signaler. Signaler har en sändare och en mottagare. Om sändaren har konstruerat signalen på ett bra sätt, blir det lättare för mottagaren att återskapa och förstå sändarens ursprungliga meddelande. Ur ett matematiskt perspektiv är signaler funktioner som beskriver hur en signal förändras i exempelvis tid, rum eller frekvens.

Signaler inom TV, radio och elektronik består av ett antal vågrörelser i olika frekvenser. Dessa är exempel på signaler som skickas ut utan avbrott och kallas för kontinuerliga signaler. För en mottagare är det energikrävande, om inte omöjligt, att konstant mäta och beräkna signalen. Därför är det av intresse att hitta metoder för att kunna mäta en signal vid ett begränsat antal tillfällen och sedan rekonstruera den utifrån mätvärden.

För signaler som består av vågrörelser i olika frekvenser bevisar vi i den här uppsatsen hur ofta signalen måste mätas för att det ska var möjligt att rekonstruera den. Om spektrat av frekvenser är begränsat till ett intervall, kan signalen rekonstrueras perfekt genom att den mäts med jämna mellanrum. Hur ofta mätningarna ska göras är direkt relaterat till hur hög den högsta frekvensen är. Om spektrat av frekvenser däremot består av flera intervall, går det inte att hitta en exakt formel för hur signalen kan rekonstrueras. Dock är det möjligt att uppskatta hur ofta signalen minst måste mätas. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
Olsson, Clara LU
supervisor
organization
course
MATK11 20222
year
type
M2 - Bachelor Degree
subject
keywords
sampling, interpolation, paley-wiener, sampling theorem, shannon sampling theorem, nyqvist rate, landau
publication/series
Bachelor’s Theses in Mathematical Sciences
report number
LUNFMA-4141-2023
ISSN
1654-6229
other publication id
2023:K1
language
English
id
9111889
date added to LUP
2025-06-12 16:02:05
date last changed
2025-06-12 16:02:05
@misc{9111889,
  abstract     = {{This work investigates Shannon’s sampling theorem and Landau’s density theorem
for sampling and interpolation for functions in Paley-Wiener spaces, with the main
focus on the latter result. We begin by defining Paley-Wiener spaces of bandlimited
functions and briefly discuss a proof of the Paley-Wiener theorem for entire functions
of exponential type. We then present Shannon’s classical sampling theorem for
bandlimited functions with Fourier spectrum in a compact interval. When the Fourier
spectrum is disconnected, sampling and interpolation is a more delicate issue. The
main goal of this thesis is to present and prove Landau’s necessary conditions for
sampling and interpolation of bandlimited functions with Fourier spectrum in a union
of compact disjoint intervals. For the proof of this we use the approach by Nitzan
and Olevskii [9] based on the theory of frames in Hilbert spaces.}},
  author       = {{Olsson, Clara}},
  issn         = {{1654-6229}},
  language     = {{eng}},
  note         = {{Student Paper}},
  series       = {{Bachelor’s Theses in Mathematical Sciences}},
  title        = {{Sampling and Interpolation in Paley-Wiener spaces}},
  year         = {{2023}},
}