Skip to main content

LUP Student Papers

LUND UNIVERSITY LIBRARIES

Optimality gaps and regularity for one-dimensional variational problems

Grün, Florian Noah LU (2021) In Bachelor’s Theses in Mathematical Sciences MATK11 20211
Mathematics (Faculty of Engineering)
Mathematics (Faculty of Sciences)
Centre for Mathematical Sciences
Abstract
In this Bachelor thesis we will provide a light treatment to the topic of optimality gaps and regularity for integral functionals. First we will establish the classical existence result by Tonelli, via the so calleddirect method. Proceedingly we discuss examples of gaps between the infima over different classes of functions. We start with the classical Lavrentiev phenomenon (gap between AC and Lipschitz) and continue with gaps involving C^k. In the last section we will look at different regularity conditions,
that is conditions such that gaps between certain infima do not occur and end with some applications to ODE’s.
Popular Abstract (Swedish)
Variationskalkyl handlar om problemet att bestämma det minsta värdet av en funktion som har en funktion som input, nämligen en så kallad funktional. Det vill säga, man minimerar $f(x)$ där $x$ själv är en funktion. Funktionalen brukar vara i form av en integral och $x$ är ett element av ett funktionsrum, till exempel rummet av alla kontinuerliga funktioner. Först och främst kommer frågan om existens; finns det ett minimum eller inte? Om svaret här är positivt, kommer nästa steg; hur kan man hitta den där "bästa" funktionen? Tyvärr är det inte så lätt. Problemet är att lösningen kan existera i ett mycket större rum än det man sökt lösningen och det går inte garantera att en explicit lösning hittas alls. Det är som en klyfta mellan lösningen... (More)
Variationskalkyl handlar om problemet att bestämma det minsta värdet av en funktion som har en funktion som input, nämligen en så kallad funktional. Det vill säga, man minimerar $f(x)$ där $x$ själv är en funktion. Funktionalen brukar vara i form av en integral och $x$ är ett element av ett funktionsrum, till exempel rummet av alla kontinuerliga funktioner. Först och främst kommer frågan om existens; finns det ett minimum eller inte? Om svaret här är positivt, kommer nästa steg; hur kan man hitta den där "bästa" funktionen? Tyvärr är det inte så lätt. Problemet är att lösningen kan existera i ett mycket större rum än det man sökt lösningen och det går inte garantera att en explicit lösning hittas alls. Det är som en klyfta mellan lösningen och sökningsområdet, det så kallade Lavrentiev gap. Om man inte kan hitta lösningen eller komma godtyckligt nära, då hjälper existensen inte särskilt mycket. Därför är ansatsen att kräva olika villkor på funktionalen så att lösningen också existerar i ett mindre rum som kan genomsökas lättare. Inom dessa regularitetsvillkor finns det fortfarande aktiv forskning med omfattande tillämpningar. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
Grün, Florian Noah LU
supervisor
organization
course
MATK11 20211
year
type
M2 - Bachelor Degree
subject
keywords
Calculus of variations, Lavrentiev phenomenon, regularity, direct method, optimization
publication/series
Bachelor’s Theses in Mathematical Sciences
report number
LUNFMA-4122-2021
ISSN
1654-6229
other publication id
2021:K32
language
English
id
9136398
date added to LUP
2025-10-02 16:39:10
date last changed
2025-10-02 16:39:10
@misc{9136398,
  abstract     = {{In this Bachelor thesis we will provide a light treatment to the topic of optimality gaps and regularity for integral functionals. First we will establish the classical existence result by Tonelli, via the so calleddirect method. Proceedingly we discuss examples of gaps between the infima over different classes of functions. We start with the classical Lavrentiev phenomenon (gap between AC and Lipschitz) and continue with gaps involving C^k. In the last section we will look at different regularity conditions,
that is conditions such that gaps between certain infima do not occur and end with some applications to ODE’s.}},
  author       = {{Grün, Florian Noah}},
  issn         = {{1654-6229}},
  language     = {{eng}},
  note         = {{Student Paper}},
  series       = {{Bachelor’s Theses in Mathematical Sciences}},
  title        = {{Optimality gaps and regularity for one-dimensional variational problems}},
  year         = {{2021}},
}