Skip to main content

LUP Student Papers

LUND UNIVERSITY LIBRARIES

t-Structures and Recollements

Lidgren, Carl-Fredrik LU (2024) In Master's Theses in Mathematical Sciences MATM03 20231
Mathematics (Faculty of Sciences)
Centre for Mathematical Sciences
Abstract
We provide an introduction to the basic theory of triangulated categories and t-structures, and cover these in detail with a particular focus on recollements, roughly speaking gluings. Triangulated categories are a convenient setting for developing foundational results in homotopical algebra, and t-structures allow a refinement of this by imposing that objects have a kind of "grading" on them, encoded in certain (co)reflective subcategories. We prove a number of results on these topics, including a result of Hoshino-Kato-Miyachi stating that triangulated categories admitting small coproducts and a silting object also admit a t-structure whose heart is equivalent to a module category.
Popular Abstract (Swedish)
Inom algebra finns det ett koncept som heter kohomologi. Från början kom det från topologi: till ett rum kan man associera en mängd algebraiska strukturer, nämligen kohomologigrupperna av rummet, som berättar om vissa egenskaper rummet har. Man märkte relativt snabbt att sådana strukturer kunde användas i fler situationer, och på så vis föddes ämnet homologisk algebra. Det man såg var att man kunde skapa en kohomologiteori inom alla så kallade abelska kategorier.

Inte långt efter att kohomologi hade definierats inom abelska kategorier insåg vissa matematiker att man behövde något mer flexibelt för mer krävande situationer. Anledningen är inte så svår att förstå: kohomologi kommer alltid från vissa följder
\[ \cdots\to X^{i-1}\to X^i\to... (More)
Inom algebra finns det ett koncept som heter kohomologi. Från början kom det från topologi: till ett rum kan man associera en mängd algebraiska strukturer, nämligen kohomologigrupperna av rummet, som berättar om vissa egenskaper rummet har. Man märkte relativt snabbt att sådana strukturer kunde användas i fler situationer, och på så vis föddes ämnet homologisk algebra. Det man såg var att man kunde skapa en kohomologiteori inom alla så kallade abelska kategorier.

Inte långt efter att kohomologi hade definierats inom abelska kategorier insåg vissa matematiker att man behövde något mer flexibelt för mer krävande situationer. Anledningen är inte så svår att förstå: kohomologi kommer alltid från vissa följder
\[ \cdots\to X^{i-1}\to X^i\to X^{i+1}\to\cdots \]
av morfismer (tänk: funktioner) mellan algebraiska objekt, där man beräknar kohomologin \(\HH^i(X^\bullet)\) i princip genom att kolla på skillnaden mellan avbildningen av \(X^{i-1}\to X^i\) och det som \(X^i\to X^{i+1}\) sänder till noll. Det är omedelbart uppenbart att man förlorar information genom att göra detta: man slänger bort en ganska stor del av följden.

Detta löstes genom att man bytte ut den initiala abelska kategorin med en ny kategori vars objekt är exakt sådana följder som ovan, fast där man betraktar två föjder som "samma" ungefär om de ger samma kohomologi. På så sätt glömmer man inte följden man började med. Denna metod har dock ett annat problem: den nya kategorin man använder är inte längre en abelsk kategori. Däremot har den liknande egenskaper som en abelsk kategori förrutom att de inte längre gäller "direkt" utan på ett mer avancerat sätt.

Den abstrakta strukturen som kommer fram i sammanhanget ovan kallas en triangulerad kategori. Denna uppsatts handlar om precis dessa kategorier, tillsammans med extra strukturer som man kan placera på dem, till exempel så kallade t-strukturer, som fungerar som ett abstrakt sätt att formulera hur man kommer ihåg följderna som diskuterades innan och konsekvenserna det har. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
Lidgren, Carl-Fredrik LU
supervisor
organization
course
MATM03 20231
year
type
H2 - Master's Degree (Two Years)
subject
keywords
t-structures, homotopical algebra, category theory, triangulated categories, recollements, silting objects
publication/series
Master's Theses in Mathematical Sciences
report number
LUNFMA-3142-2023
ISSN
1404-6342
other publication id
2023:E71
language
English
id
9151011
date added to LUP
2025-06-12 15:55:06
date last changed
2025-06-12 15:55:06
@misc{9151011,
  abstract     = {{We provide an introduction to the basic theory of triangulated categories and t-structures, and cover these in detail with a particular focus on recollements, roughly speaking gluings. Triangulated categories are a convenient setting for developing foundational results in homotopical algebra, and t-structures allow a refinement of this by imposing that objects have a kind of "grading" on them, encoded in certain (co)reflective subcategories. We prove a number of results on these topics, including a result of Hoshino-Kato-Miyachi stating that triangulated categories admitting small coproducts and a silting object also admit a t-structure whose heart is equivalent to a module category.}},
  author       = {{Lidgren, Carl-Fredrik}},
  issn         = {{1404-6342}},
  language     = {{eng}},
  note         = {{Student Paper}},
  series       = {{Master's Theses in Mathematical Sciences}},
  title        = {{t-Structures and Recollements}},
  year         = {{2024}},
}