Skip to main content

LUP Student Papers

LUND UNIVERSITY LIBRARIES

Continuos Functions on Compact Metric Spaces: Some Non-Trivial Properties

Rathsman, Anna-Lisa LU (2024) In Bachelor’s Theses in Mathematical Sciences MATK11 20232
Mathematics (Faculty of Engineering)
Mathematics (Faculty of Sciences)
Centre for Mathematical Sciences
Abstract
Three main theorems are presented, all of them concerning different non-trivial properties of continuous functions on compact metric spaces. The first is the Stone-Weierstrass theorem, which states that a continuous functions on a compact metric space can always be uniformly approximated by functions in a smaller algebra -- for instance, on compact intervals of the real line then any continuous function can be approximated by polynomials. The second is the Arzelà-Ascoli theorem, which states that a sequence of functions on a metric space which is equicontinuous (i.e. at each point every function has the same amount of discontinuity as every other function) and uniformly bounded (i.e. the functions all have the same bound) must have some... (More)
Three main theorems are presented, all of them concerning different non-trivial properties of continuous functions on compact metric spaces. The first is the Stone-Weierstrass theorem, which states that a continuous functions on a compact metric space can always be uniformly approximated by functions in a smaller algebra -- for instance, on compact intervals of the real line then any continuous function can be approximated by polynomials. The second is the Arzelà-Ascoli theorem, which states that a sequence of functions on a metric space which is equicontinuous (i.e. at each point every function has the same amount of discontinuity as every other function) and uniformly bounded (i.e. the functions all have the same bound) must have some convergent subsequence. The last is the Riesz Representation which gives an important result about linear functionals and measures. (Less)
Popular Abstract (Swedish)
Tre styck icke-triviella satser om kontinuerliga funktioner presenteras för läsaren. Kontinuerliga funkioner har ett flertal trevliga egenskaper, de över kompakta rum speciellt så. I och med att de saknar "stup," där funktionen hoppar från ett värde till ett annat, följer det att de kan lättare uppskattas. Den första satsen som presenteras handlar om just detta: Stone-Weierstraß sats, vilken ger att givet ett kompakt rum kan man från ett fåtal kontinuerliga funktioner uppskatta varje kontinuerligen funktion som ett polynom utifrån dessa fåtal, givet att det ursprungliga fåtalet kontinuerliga funktioner urskiljer punkterna i rummet. (Det vill säga att för varje par av skilda punkter måste någon av de fåtal funktioner vi börjar med ge olika... (More)
Tre styck icke-triviella satser om kontinuerliga funktioner presenteras för läsaren. Kontinuerliga funkioner har ett flertal trevliga egenskaper, de över kompakta rum speciellt så. I och med att de saknar "stup," där funktionen hoppar från ett värde till ett annat, följer det att de kan lättare uppskattas. Den första satsen som presenteras handlar om just detta: Stone-Weierstraß sats, vilken ger att givet ett kompakt rum kan man från ett fåtal kontinuerliga funktioner uppskatta varje kontinuerligen funktion som ett polynom utifrån dessa fåtal, givet att det ursprungliga fåtalet kontinuerliga funktioner urskiljer punkterna i rummet. (Det vill säga att för varje par av skilda punkter måste någon av de fåtal funktioner vi börjar med ge olika värden vid de två punkterna.) Den följande satsen behandlar samlingar av kontinuerliga funktioner över ett rum, och ger ett resultat för när sekvenser utav sådana funktioner har konvergerande delsekvenser. Den tredje, och sista, satsen betraktar kontinuerliga funktioner över ett rum bestående av kontinuerliga funktioner över ett kompakt rum, och hur dessa kan skrivas som en integral. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
Rathsman, Anna-Lisa LU
supervisor
organization
alternative title
Ett urval icke-triviella egenskaper hos kontinuerliga funktioner över kompakta metriska rum.
course
MATK11 20232
year
type
M2 - Bachelor Degree
subject
keywords
Mathematics, Stone-Weierstrass theorem, Arzelà-Ascoli theorem, Riesz Representation Theorem, Functional Analysis, Topology, Continuous Functions, Compact Spaces
publication/series
Bachelor’s Theses in Mathematical Sciences
report number
LUNFMA-4162-2024
ISSN
1654-6229
other publication id
2024:K4
language
English
id
9153369
date added to LUP
2025-06-27 15:58:04
date last changed
2025-06-27 15:58:04
@misc{9153369,
  abstract     = {{Three main theorems are presented, all of them concerning different non-trivial properties of continuous functions on compact metric spaces. The first is the Stone-Weierstrass theorem, which states that a continuous functions on a compact metric space can always be uniformly approximated by functions in a smaller algebra -- for instance, on compact intervals of the real line then any continuous function can be approximated by polynomials. The second is the Arzelà-Ascoli theorem, which states that a sequence of functions on a metric space which is equicontinuous (i.e. at each point every function has the same amount of discontinuity as every other function) and uniformly bounded (i.e. the functions all have the same bound) must have some convergent subsequence. The last is the Riesz Representation which gives an important result about linear functionals and measures.}},
  author       = {{Rathsman, Anna-Lisa}},
  issn         = {{1654-6229}},
  language     = {{eng}},
  note         = {{Student Paper}},
  series       = {{Bachelor’s Theses in Mathematical Sciences}},
  title        = {{Continuos Functions on Compact Metric Spaces: Some Non-Trivial Properties}},
  year         = {{2024}},
}