Stagnation Points of Harmonic Vector Fields and the Domain Topology - Some Applications of Morse Theory
(2024) In Master’s Theses in Mathematical Sciences MATM03 20232Mathematics (Faculty of Sciences)
Centre for Mathematical Sciences
- Abstract
- Given a harmonic vector field u on a bounded domain we call the set on which u enters the
domain entrant boundary and the set on which u exits the domain emergent boundary. In the first
part of this thesis we ask the question of whether it is possible to have interior stagnation points
and connected entrant and emergent boundaries. The answer in two dimensions for a domain
homeomorphic to a disc is ‘no’. If one allows for holes in the domain the answer becomes a ‘yes’
for which we give explicit examples. In four dimensions a simple example shows that this is
possible with the ball as the domain. In three dimensions we use Morse theory to argue that the
number of stagnation points is even. With the help of this result and numerical... (More) - Given a harmonic vector field u on a bounded domain we call the set on which u enters the
domain entrant boundary and the set on which u exits the domain emergent boundary. In the first
part of this thesis we ask the question of whether it is possible to have interior stagnation points
and connected entrant and emergent boundaries. The answer in two dimensions for a domain
homeomorphic to a disc is ‘no’. If one allows for holes in the domain the answer becomes a ‘yes’
for which we give explicit examples. In four dimensions a simple example shows that this is
possible with the ball as the domain. In three dimensions we use Morse theory to argue that the
number of stagnation points is even. With the help of this result and numerical methods we found
a harmonic polynomial on the ball which has interior stagnation points and simply connected
entrant and emergent sets.
The second part revolves around harmonic vector fields with interior stagnation points and without
boundary stagnation points. This question yields in two dimensions an elegant relation between
the domain topology and the number of interior stagnation points. As a special case we obtain
statements about harmonic vector fields which are tangential and nonvanishing at the boundary.
We also give examples of vector fields illustrating this point. In three dimensions we do not find
an explicit example but the Morse index theorem implies that for such an example the number of
stagnation points has to be even and the Euler characteristic of the domain has to vanish.
As part of the thesis we formulate a version of Morse theory by [Braess, 1974] and [Agrachëv, 1991] for manifolds with
corners. This relates the domain topology with the number of stagnation points. Additionally we
give a proof for the density of Morse functions for this type of Morse theory. (Less) - Popular Abstract (Swedish)
- Givet ett harmoniskt vektorfält u på en begränsad domän kallar vi den mängd där u träder in i
domänen för inträdesrand och den mängd där u lämnar domänen utträdesrand. I den första delen
av detta examensarbete ställer vi frågan om det är möjligt att ha inre stagnationspunkter och
sammanhängande inträdes- och utträdesrand. Svaret i två dimensioner är ‘nej’ för en domän som
är homeomorf till skivan. Om man tillåter hål i domänen blir svaret ‘ja’, vilket vi ger explicita
exempel på. I fyra dimensioner visar ett enkelt exempel att detta är möjligt med klotet som domän.
I tre dimensioner använder vi Morse-teorin för att visa att antalet stagnationspunkter är jämnt.
Med hjälp av detta resultat och numeriska metoder fann vi ett harmoniskt... (More) - Givet ett harmoniskt vektorfält u på en begränsad domän kallar vi den mängd där u träder in i
domänen för inträdesrand och den mängd där u lämnar domänen utträdesrand. I den första delen
av detta examensarbete ställer vi frågan om det är möjligt att ha inre stagnationspunkter och
sammanhängande inträdes- och utträdesrand. Svaret i två dimensioner är ‘nej’ för en domän som
är homeomorf till skivan. Om man tillåter hål i domänen blir svaret ‘ja’, vilket vi ger explicita
exempel på. I fyra dimensioner visar ett enkelt exempel att detta är möjligt med klotet som domän.
I tre dimensioner använder vi Morse-teorin för att visa att antalet stagnationspunkter är jämnt.
Med hjälp av detta resultat och numeriska metoder fann vi ett harmoniskt polynom i klotet som
har inre stagnationspunkter och enkelt sammanhängande inträdes- och utträdesrand.
Den andra delen handlar om harmoniska vektorfält med inre stagnationspunkter och utan stagna-
tionspunkter på randen. Denna fråga i två dimensioner ger ett mycket elegant samband mellan
domänens topologi och antalet inre stagnationspunkter. Som ett specialfall får vi uttalanden om
harmoniska vektorfält som är tangentiella och icke försvinnande vid randen. Vi ger också exempel
på vektorfält som illustrerar denna punkt. I tre dimensioner hittar vi inget sådant exempel, men
Morse indexsats implicerar att för ett sådant exempel måste antalet stagnationspunkter vara jämnt
och Euler-karakteristiken för domänen måste försvinna.
Som en del av examensarbetet formulerar vi en version av Morse-teorin enligt [Braess, 1974] och [Agrachëv, 1991] för
mångfalder med kantiga hörn. Denna relaterar domäntopologin till antalet stagnationspunkter.
Dessutom ger vi ett bevis för tätheten av Morsefunktioner för denna typ av Morse-teori. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
http://lup.lub.lu.se/student-papers/record/9154275
- author
- Koppenhöfer, Theo LU
- supervisor
-
- Erik Wahlén LU
- organization
- course
- MATM03 20232
- year
- 2024
- type
- H2 - Master's Degree (Two Years)
- subject
- keywords
- Morse theory, Partial differential equations, harmonic function, stagnation points, critical points
- publication/series
- Master’s Theses in Mathematical Sciences
- report number
- LUNFMA-3149-2024
- ISSN
- 1404-6342
- other publication id
- 2024:E16
- language
- English
- id
- 9154275
- date added to LUP
- 2025-07-01 08:25:54
- date last changed
- 2025-07-01 08:25:54
@misc{9154275,
abstract = {{Given a harmonic vector field u on a bounded domain we call the set on which u enters the
domain entrant boundary and the set on which u exits the domain emergent boundary. In the first
part of this thesis we ask the question of whether it is possible to have interior stagnation points
and connected entrant and emergent boundaries. The answer in two dimensions for a domain
homeomorphic to a disc is ‘no’. If one allows for holes in the domain the answer becomes a ‘yes’
for which we give explicit examples. In four dimensions a simple example shows that this is
possible with the ball as the domain. In three dimensions we use Morse theory to argue that the
number of stagnation points is even. With the help of this result and numerical methods we found
a harmonic polynomial on the ball which has interior stagnation points and simply connected
entrant and emergent sets.
The second part revolves around harmonic vector fields with interior stagnation points and without
boundary stagnation points. This question yields in two dimensions an elegant relation between
the domain topology and the number of interior stagnation points. As a special case we obtain
statements about harmonic vector fields which are tangential and nonvanishing at the boundary.
We also give examples of vector fields illustrating this point. In three dimensions we do not find
an explicit example but the Morse index theorem implies that for such an example the number of
stagnation points has to be even and the Euler characteristic of the domain has to vanish.
As part of the thesis we formulate a version of Morse theory by [Braess, 1974] and [Agrachëv, 1991] for manifolds with
corners. This relates the domain topology with the number of stagnation points. Additionally we
give a proof for the density of Morse functions for this type of Morse theory.}},
author = {{Koppenhöfer, Theo}},
issn = {{1404-6342}},
language = {{eng}},
note = {{Student Paper}},
series = {{Master’s Theses in Mathematical Sciences}},
title = {{Stagnation Points of Harmonic Vector Fields and the Domain Topology - Some Applications of Morse Theory}},
year = {{2024}},
}