Skip to main content

LUP Student Papers

LUND UNIVERSITY LIBRARIES

Exact q-variations for the True and Simulated Solutions to the Stochastic Heat Equation driven by Additive Gaussian Noise

Nahodovic, Elmir LU and Karlsson Strandh, Erik LU (2024) In Master's Thesis in Mathematical Sciences FMSM01 20241
Mathematical Statistics
Popular Abstract (Swedish)
Energi och dess spridning har förutom dess otaliga applikationer inom fysiken och teknologi, en väldigt djup matematisk skönhet som visar sig i ekvationen som beskriver diffusionen. Arbetet har studerat vad som händer när ett system som beskrivs av värmeledningsekvationen påverkas av slumpmässiga fluktueringar, ett så kallat vitt brus.

Idén bakom vitt brus (förutom en del tekniska krav) är att den totala tillförslade energin är 0, och att energin i två separata regioner i mediet är oberoende av varandra. Fälten som beskriver diffusionen visar sig ha distinkta fraktalbeteenden med kopplingar till andra välkända slumpmässiga processer som kan liknas till slumpvandringar, som exempelvis den Brownska rörelsen och dess generaliseringar.... (More)
Energi och dess spridning har förutom dess otaliga applikationer inom fysiken och teknologi, en väldigt djup matematisk skönhet som visar sig i ekvationen som beskriver diffusionen. Arbetet har studerat vad som händer när ett system som beskrivs av värmeledningsekvationen påverkas av slumpmässiga fluktueringar, ett så kallat vitt brus.

Idén bakom vitt brus (förutom en del tekniska krav) är att den totala tillförslade energin är 0, och att energin i två separata regioner i mediet är oberoende av varandra. Fälten som beskriver diffusionen visar sig ha distinkta fraktalbeteenden med kopplingar till andra välkända slumpmässiga processer som kan liknas till slumpvandringar, som exempelvis den Brownska rörelsen och dess generaliseringar. Dessa resultat gäller även för en del brus som är färgat, vilket innebär att energitillförseln i mediet är inte helt oberoende.

Fokuset för den här rapporten ligger i att räkna på variationen över tid och rum för diffusionen som påverkas av brus. Variationen är ett slags mått på hur mycket fältet studsar fram och tillbaka, och det vi sammanställer i arbetet är de statistiska egenskaperna för variationen, samt hur datorn kan simulera dessa ytterst ojämna fält.

När det kommer till datorsimuleringarna visar det sig att många av de standardmetoderna som används för att simulera värmeledning och allmän diffusion inte kan fånga den korrekta variationen. Vi demonstrerar att av dessa standardmetoder, finns det endast en som kan fånga de korrekta fraktalegenskaperna. Resten av dem antingen slätar ut fältet för mycket, eller gör dem ännu mer irreguljära.

Eftersom fälten däremot är slumpmässiga processer i tid och rum, fås ytterligare en till metod att simulera diffusionens vägar med hjälp av verktyg från sannolikhetsteorin, och denna metod lyckas fånga rätt variation.

Vi belyser dessutom de statistiska egenskaperna av fälten med hjälp av simuleringarna, som bekräftar den härledda teorin. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
Nahodovic, Elmir LU and Karlsson Strandh, Erik LU
supervisor
organization
course
FMSM01 20241
year
type
H2 - Master's Degree (Two Years)
subject
publication/series
Master's Thesis in Mathematical Sciences
report number
LUTFMS-3500-2024
ISSN
1404-6342
other publication id
2024:E50
language
English
id
9163876
date added to LUP
2024-06-17 11:09:11
date last changed
2024-06-17 11:09:11
@misc{9163876,
  author       = {{Nahodovic, Elmir and Karlsson Strandh, Erik}},
  issn         = {{1404-6342}},
  language     = {{eng}},
  note         = {{Student Paper}},
  series       = {{Master's Thesis in Mathematical Sciences}},
  title        = {{Exact q-variations for the True and Simulated Solutions to the Stochastic Heat Equation driven by Additive Gaussian Noise}},
  year         = {{2024}},
}