Skip to main content

LUP Student Papers

LUND UNIVERSITY LIBRARIES

Asymptotic behaviour of the Hausdorff dimension of Julia set for quadratic polynomials around $-2$

Moosa, Leith Akil LU (2024) In Master's Theses in Mathematical Sciences FMAM05 20241
Mathematics (Faculty of Engineering)
Abstract
Let $\dim_H(\mathcal{J}_\epsilon)$ and $\dim_H(\mathcal{J}_{i\epsilon})$ denote the Hausdorff dimension of the Julia set of the polynomials $f_\epsilon(z) = z^2 -2 -\epsilon$ and $f_{i\epsilon}(z) = z^2 -2 +i\epsilon$ receptively for small $\epsilon>0$. This thesis contains two main Theorems, both dealing with the upper bound for the asymptotic behaviour of $\dim_H(\mathcal{J}_\epsilon)$ and $\dim_H(\mathcal{J}_{i\epsilon})$ when $\epsilon\to 0$. The novelty of this thesis lays in the imaginary perturbation case. Before proving the main Theorems, we introduce the general framework and techniques to calculate Hausdorff measure.
Popular Abstract (Swedish)
Euklidisk geometri var den första ge-
ometrin som man stötte på i grundskolan, allt
från trianglar till cirklar. Samtidigt fick man
lära sig att inget av dessa objekt finns i verk-
ligheten. Det var inte förrän Benoı̂t Mandelbrot
(1924-2010) insåg att många naturfenomen är
så oregelbundna och komplexa att de inte kan
beskrivas med euklidisk geometri. I detta sam-
manhang verkar Mandelbrots citat vara mest
lämpligt att nämna.
Why is geometry often described
as “cold” and “dry”? One reason
lies in its inability to describe the
shape of a cloud, a mountain, a
coastline, or a tree. Clouds are not
spheres, mountains are not cones,
coastlines are not circles, and bark
is not smooth, nor does lightning
travel in a straight line.... (More)
Euklidisk geometri var den första ge-
ometrin som man stötte på i grundskolan, allt
från trianglar till cirklar. Samtidigt fick man
lära sig att inget av dessa objekt finns i verk-
ligheten. Det var inte förrän Benoı̂t Mandelbrot
(1924-2010) insåg att många naturfenomen är
så oregelbundna och komplexa att de inte kan
beskrivas med euklidisk geometri. I detta sam-
manhang verkar Mandelbrots citat vara mest
lämpligt att nämna.
Why is geometry often described
as “cold” and “dry”? One reason
lies in its inability to describe the
shape of a cloud, a mountain, a
coastline, or a tree. Clouds are not
spheres, mountains are not cones,
coastlines are not circles, and bark
is not smooth, nor does lightning
travel in a straight line.

Mandelbrot var motiverad av flera matem-
atiker och deras arbete för att introducera
ett nytt ramverk från vilket man kan studera
denna mera komplexa geometri. Exempelvis
Andrej Kolmogorovs (1903-1987) teori om tur-
bulens samt hans definition av ”capacity” av
ett geometrisk objekt, samt den polska matem-
atikern Felix Hausdorffs (1868-1942) definition
av fraktal dimension (Hausdorff dimension).
En fraktal är, på ett ungefär, ett geometriskt
objekt vars struktur och mönster upprepas om
och om igen då man förstorar den.

Mandelbrot nämner en varierande mängd av
olika fraktaler i hans kända bok ”The Fractal
Geometry of Nature”. I detta arbete studeras
hur den fraktala dimensionen av en viktig in-
variant mängd (s.k. Julia mängden) för ett dy-
namiskt system påverkas då man stör systemet
genom att ändra på parametern. I detta arbete
undersöker vi mer precist hur dynamiken av
f c (z ) = z2 + c ändras när c = −2 − ε där ε
är något litet reellt eller imaginärt tal. I ett
ostört läge som vi startar med, dvs. c = −2 så
är Julia mängden ett intervall alltså en fraktal
dimension 1 men när systemet störs, dvs. när
ε inte är noll längre, får vi något likt följande
figur, med en fraktal dimension mindre än 1.

Målet var att undersöka hur fort den frak-
tala dimensionen av Julia mängden konverger-
ade till 1 då störningen ε går mot noll i vänstra
halvplanet. Vi bevisar ett nytt resultat om hur
snabbt denna konvergens sker, då denna störn-
ing är rent imaginär. Arbetet var bl.a. inspir-
erat av Ludwik Jaksztas artikel. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
Moosa, Leith Akil LU
supervisor
organization
course
FMAM05 20241
year
type
H2 - Master's Degree (Two Years)
subject
publication/series
Master's Theses in Mathematical Sciences
report number
LUTFMA-3553-2024
ISSN
1404-6342
other publication id
2024:E62
language
English
id
9166496
date added to LUP
2024-08-12 09:13:35
date last changed
2024-08-12 09:13:35
@misc{9166496,
  abstract     = {{Let $\dim_H(\mathcal{J}_\epsilon)$ and $\dim_H(\mathcal{J}_{i\epsilon})$ denote the Hausdorff dimension of the Julia set of the polynomials $f_\epsilon(z) = z^2 -2 -\epsilon$ and $f_{i\epsilon}(z) = z^2 -2 +i\epsilon$ receptively for small $\epsilon>0$. This thesis contains two main Theorems, both dealing with the upper bound for the asymptotic behaviour of $\dim_H(\mathcal{J}_\epsilon)$ and $\dim_H(\mathcal{J}_{i\epsilon})$ when $\epsilon\to 0$. The novelty of this thesis lays in the imaginary perturbation case. Before proving the main Theorems, we introduce the general framework and techniques to calculate Hausdorff measure.}},
  author       = {{Moosa, Leith Akil}},
  issn         = {{1404-6342}},
  language     = {{eng}},
  note         = {{Student Paper}},
  series       = {{Master's Theses in Mathematical Sciences}},
  title        = {{Asymptotic behaviour of the Hausdorff dimension of Julia set for quadratic polynomials around $-2$}},
  year         = {{2024}},
}