Skip to main content

LUP Student Papers

LUND UNIVERSITY LIBRARIES

The Ultrafilter Lemma and Its Place in Mathematics

Righard, Jon LU (2024) In Bachelor's Theses in Mathematical Sciences MATK11 20241
Mathematics (Faculty of Engineering)
Centre for Mathematical Sciences
Mathematics (Faculty of Sciences)
Abstract
We investigate the strength of the Ultrafilter Lemma in comparison to the Axiom of Choice. In particular, we prove that a number of classical mathematical theorems are equivalent to the Ultrafilter Lemma over $\sf ZF$, and we study a few results which are typically only obtained in $\sf ZFC$ (as opposed to $\sf ZF$) but which can also be proven from the conjunction of $\sf ZF$ with the Ultrafilter Lemma. We finish with a foray into model theory, motivated by a desire to understand the notion of an ultraproduct.
Popular Abstract (Swedish)
Mängdlära är den gren av den matematiska logiken där man studerar så kallade \textit{mängder}. I axiomatisk mängdlära undviker man att definiera begreppet \textit{mängd}, men det är meningen att mängder ska bete sig som samlingar av objekt av något slag. Som alltid i matematiken börjar man med att skriva ned en lista med axiom, från vilka man sedan försöker härleda en så rik teori som möjligt. Det går att använda olika uppsättningar axiom, och beroende på vilka axiom man börjar med får man olika teorier. \\

Den överlägset mest populära uppsättningen axiom kallas för $\sf ZFC$. Man brukar säga att hela den moderna matematiken vilar på $\sf ZFC$. Med det menar man att alla matematiska satser kan formuleras så att de handlar om mängder,... (More)
Mängdlära är den gren av den matematiska logiken där man studerar så kallade \textit{mängder}. I axiomatisk mängdlära undviker man att definiera begreppet \textit{mängd}, men det är meningen att mängder ska bete sig som samlingar av objekt av något slag. Som alltid i matematiken börjar man med att skriva ned en lista med axiom, från vilka man sedan försöker härleda en så rik teori som möjligt. Det går att använda olika uppsättningar axiom, och beroende på vilka axiom man börjar med får man olika teorier. \\

Den överlägset mest populära uppsättningen axiom kallas för $\sf ZFC$. Man brukar säga att hela den moderna matematiken vilar på $\sf ZFC$. Med det menar man att alla matematiska satser kan formuleras så att de handlar om mängder, och att det när man gett dem sådana formuleringar går att bevisa dem i $\sf ZFC$. Bland axiomen i $\sf ZFC$ finns ett särskilt intressant axiom som kallas för \textit{urvalsaxiomet}. Om man stryker urvalsaxiomet från $\sf ZFC$ får man en något mindre uppsättning axiom som betecknas med $\sf ZF$ (bokstaven $\sf C$ i $\sf ZFC$ står för engelskans \textit{Axiom of Choice}). Även om de flesta samtida matematiker godtar urvalsaxiomet har så inte alltid varit fallet, och därför är det ofta intressant att avgöra om en sats som redan har bevisats i $\sf ZFC$ även går att bevisa i $\sf ZF$ eller i $\sf ZF$ tillsammans med någon svag form av urvalsaxiomet. \\

Det finns en annan mängdteoretisk utsaga som heter \textit{ultrafilterlemmat} ($\sf UFL$). I den här uppsatsen undersöker vi hur ultrafilterlemmat står i förhållande till urvalsaxiomet. Om vi betecknar unionen av $\sf ZF$ och ultrafilterlemmat med $\sf ZF+UFL$ så gäller det att
$$\sf ZFC\implies ZF+UFL\implies ZF,$$
men inga av implikationerna går att vända. Detta innebär att man kan betrakta ultrafilterlemmat som ett svagare alternativ till urvalsaxiomet. Det visar sig att många matematiska satser som går att bevisa i $\sf ZFC$ men inte i $\sf ZF$ även går att bevisa i $\sf ZF+UFL$. I den här uppsatsen samlar vi ett antal sådana resultat och visar hur man kan härleda dem i $\sf ZF+UFL$. Under resans gång får vi tillfälle att diskutera en mängd intressanta idéer från olika delar av matematiken.\\

Det sista kapitlet ägnar vi åt så kallade \textit{ultraprodukter}. Ultraprodukter, som används flitigt inom modellteori, går inte att definiera utan ultrafilter; ofta när man använder ultrafilter i praktiken är målet att konstruera någon viss ultraprodukt på ett sinnrikt sätt. Vi avslutar uppsatsen med att bevisa Feferman--Vaughts sats, som är en generalisering av Łoś sats, som i sin tur är det mest grundläggande resultatet i teorin för ultraprodukter. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
Righard, Jon LU
supervisor
organization
course
MATK11 20241
year
type
M2 - Bachelor Degree
subject
keywords
set theory, ultrafilter lemma, mathematical logic, foundations, topology, model theory
publication/series
Bachelor's Theses in Mathematical Sciences
report number
LUNFMA-4166-2024
ISSN
1654-6229
other publication id
2024:K9
language
English
id
9166523
date added to LUP
2024-12-05 16:01:42
date last changed
2024-12-05 16:01:42
@misc{9166523,
  abstract     = {{We investigate the strength of the Ultrafilter Lemma in comparison to the Axiom of Choice. In particular, we prove that a number of classical mathematical theorems are equivalent to the Ultrafilter Lemma over $\sf ZF$, and we study a few results which are typically only obtained in $\sf ZFC$ (as opposed to $\sf ZF$) but which can also be proven from the conjunction of $\sf ZF$ with the Ultrafilter Lemma. We finish with a foray into model theory, motivated by a desire to understand the notion of an ultraproduct.}},
  author       = {{Righard, Jon}},
  issn         = {{1654-6229}},
  language     = {{eng}},
  note         = {{Student Paper}},
  series       = {{Bachelor's Theses in Mathematical Sciences}},
  title        = {{The Ultrafilter Lemma and Its Place in Mathematics}},
  year         = {{2024}},
}