Skip to main content

LUP Student Papers

LUND UNIVERSITY LIBRARIES

Commutant Lifting in Vector-Valued Reproducing Kernel Hilbert Spaces and its Application to Interpolation Problems

Andersson, Viktor LU (2025) In Master’s Theses in Mathematical Sciences MATM03 20251
Centre for Mathematical Sciences
Mathematics (Faculty of Sciences)
Abstract
We introduce the basic theory of vector-valued reproducing kernel Hilbert spaces, and use this language to prove the classical Pick interpolation theorem using the commutant lifting theorem applied to operators on the Hardy space H^2(D). Two very general versions of the commutant lifting theorem due to Shimorin are then proved for vector-valued reproducing kernel Hilbert spaces, and as a corollary, a general version of Leech’s factorization theorem is obtained. Using Shimorin’s theorems applied to the vector-valued Hardy space H^2(D) ⊗ L, the solutions to tangential versions of the Pick and Carathéodory interpolation problems are characterized in terms of the positivity of certain operator matrices.
Popular Abstract (Swedish)
En funktion är inom matematiken ett samband mellan två kvantiteter. Man kan se det som en maskin som tar in ett tal och ger tillbaka ett annat. Ett exempel på en funktion är hastigheten av en bil som en funktion av tid: du ger funktionen en tidpunkt, och funktionen ger tillbaka bilens hastighet vid denna tidpunkt. Inom matematiken är man ofta intresserad av att studera funktioner med vissa givna egenskaper. Exempelvis kan man vara intresserad av en funktion som antar givna värden i specifika punkter. Problem av denna typ kallas interpolationsproblem: det är problem där man, givet en mängd data man vill att en funktion ska uppfylla, försöker hitta funktioner som har dessa egenskaper. I vissa fall är detta ett enkelt problem som kan lösas... (More)
En funktion är inom matematiken ett samband mellan två kvantiteter. Man kan se det som en maskin som tar in ett tal och ger tillbaka ett annat. Ett exempel på en funktion är hastigheten av en bil som en funktion av tid: du ger funktionen en tidpunkt, och funktionen ger tillbaka bilens hastighet vid denna tidpunkt. Inom matematiken är man ofta intresserad av att studera funktioner med vissa givna egenskaper. Exempelvis kan man vara intresserad av en funktion som antar givna värden i specifika punkter. Problem av denna typ kallas interpolationsproblem: det är problem där man, givet en mängd data man vill att en funktion ska uppfylla, försöker hitta funktioner som har dessa egenskaper. I vissa fall är detta ett enkelt problem som kan lösas med elementära metoder, men ibland är kraven på funktionerna så restriktiva att det inte alltid ens existerar lösningar. I den här texten undersöker vi en metod för att angripa vissa typer av interpolationsproblem genom metoder från en gren av matematiken som kallas operatorteori. Vi utvecklar dessa metoder genom att studera vissa mängder av funktioner, så kallade Hilbertrum med reproducerande kärna, och applicerar sedan dessa metoder för att bestämma exakt när de så kallade Pick- och Carathéodory-problemen har lösningar. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
Andersson, Viktor LU
supervisor
organization
course
MATM03 20251
year
type
H2 - Master's Degree (Two Years)
subject
keywords
commutant lifting, reproducing kernel Hilbert space, RKHS, Pick interpolation, Carathéodory interpolation, Shimorin, Hardy space, operator theory
publication/series
Master’s Theses in Mathematical Sciences
report number
LUNFMA-3157-2025
ISSN
1404-6342
other publication id
2025:E75
language
English
id
9202462
date added to LUP
2025-09-01 13:42:22
date last changed
2025-09-01 13:42:22
@misc{9202462,
  abstract     = {{We introduce the basic theory of vector-valued reproducing kernel Hilbert spaces, and use this language to prove the classical Pick interpolation theorem using the commutant lifting theorem applied to operators on the Hardy space H^2(D). Two very general versions of the commutant lifting theorem due to Shimorin are then proved for vector-valued reproducing kernel Hilbert spaces, and as a corollary, a general version of Leech’s factorization theorem is obtained. Using Shimorin’s theorems applied to the vector-valued Hardy space H^2(D) ⊗ L, the solutions to tangential versions of the Pick and Carathéodory interpolation problems are characterized in terms of the positivity of certain operator matrices.}},
  author       = {{Andersson, Viktor}},
  issn         = {{1404-6342}},
  language     = {{eng}},
  note         = {{Student Paper}},
  series       = {{Master’s Theses in Mathematical Sciences}},
  title        = {{Commutant Lifting in Vector-Valued Reproducing Kernel Hilbert Spaces and its Application to Interpolation Problems}},
  year         = {{2025}},
}