Skip to main content

LUP Student Papers

LUND UNIVERSITY LIBRARIES

Unitary Equivalence of Cowen-Douglas Operators and Diagonal Reproducing Kernels

Ellmer, Isak LU (2025) In Master's Theses in Mathematical Sciences MATM03 20251
Mathematics (Faculty of Sciences)
Centre for Mathematical Sciences
Abstract
We introduce and discuss unitary equivalence of operators in the Cowen-Douglas class $B_n(\Omega)$. We prove that operators in the Cowen-Douglas class are unitarily equivalent if and only if there exists a holomorphic matrix $M$ which satisfies $\tilde K_\lambda(z)=M(z)K_\lambda(z)M(\lambda)^*$ for the spaces' kernels. We use this to establish that $\Delta_\lambda\log\lvert\lvert k_\lambda\rvert\rvert^2$ is an invariant of the space under unitary transformations for the case $n=1$. In the case $n>1$ we prove a similar result for spaces which have diagonal kernels. Finally we conclude by showing that for $n>1$ there are always operators in $B_n(\D)$ that are not unitarily equivalent to any space with a diagonal kernel.
Popular Abstract (Swedish)
En av the första matematiska strukturerna man stöter på är de naturliga talen $1,2,3,\ldots$. Här kan vi addera, $12+7=19$, och multiplicera $4\cdot 7=28$. Men denna struktur hade fungerat precis likadant om vi bytte namn på alla tal till deras romerska motsvarighet. I så fall hade de naturliga talen varit $\rom 1,\rom 2,\rom 3,\ldots$ och vi skulle istället ha skrivit $\rom{12}+\rom 7=\rom{19}$ och $\rom 4\cdot \rom 7=\rom{28}$. Heltalen $\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots$ är däremot en helt annan struktur. Det finns inget möjligt namnbyte som hade gjort att de naturliga talen och heltalen hade fungerat likadant. Exempelvis finns det ett heltal $0$ som vi kan addera till vilket heltal som helst, utan att förändra resultatet. Det finns däremot... (More)
En av the första matematiska strukturerna man stöter på är de naturliga talen $1,2,3,\ldots$. Här kan vi addera, $12+7=19$, och multiplicera $4\cdot 7=28$. Men denna struktur hade fungerat precis likadant om vi bytte namn på alla tal till deras romerska motsvarighet. I så fall hade de naturliga talen varit $\rom 1,\rom 2,\rom 3,\ldots$ och vi skulle istället ha skrivit $\rom{12}+\rom 7=\rom{19}$ och $\rom 4\cdot \rom 7=\rom{28}$. Heltalen $\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots$ är däremot en helt annan struktur. Det finns inget möjligt namnbyte som hade gjort att de naturliga talen och heltalen hade fungerat likadant. Exempelvis finns det ett heltal $0$ som vi kan addera till vilket heltal som helst, utan att förändra resultatet. Det finns däremot inget sådant naturligt tal. Oavsett hur vi byter namn på saker och ting fungerar strukturerna alltså på fundamentalt olika sätt. Det finns många olika ord som beskriver fenomenet att två strukturer fungerar likadant. Vi kan till exempel säga att de är isomorfa, homeomorfa eller unitärt ekvivalenta. Vilket ord som används beror på vilken typ av struktur vi studerar. Generellt är det inte helt lätt att avgöra om två strukturer faktiskt fungerar likadant eller inte. I vårt fall visar vi ett sätt för en viss typ av struktur som heter Hilbertrum. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
Ellmer, Isak LU
supervisor
organization
course
MATM03 20251
year
type
H2 - Master's Degree (Two Years)
subject
keywords
functional analysis, operator theory, hilbert spaces, shift operators, unitary equivalence, cowen-douglas class, reproducing kernels
publication/series
Master's Theses in Mathematical Sciences
report number
LUNFMA-3158-2025
ISSN
1404-6342
other publication id
2025:E76
language
English
id
9204302
date added to LUP
2025-06-26 13:50:20
date last changed
2025-06-26 13:50:20
@misc{9204302,
  abstract     = {{We introduce and discuss unitary equivalence of operators in the Cowen-Douglas class $B_n(\Omega)$. We prove that operators in the Cowen-Douglas class are unitarily equivalent if and only if there exists a holomorphic matrix $M$ which satisfies $\tilde K_\lambda(z)=M(z)K_\lambda(z)M(\lambda)^*$ for the spaces' kernels. We use this to establish that $\Delta_\lambda\log\lvert\lvert k_\lambda\rvert\rvert^2$ is an invariant of the space under unitary transformations for the case $n=1$. In the case $n>1$ we prove a similar result for spaces which have diagonal kernels. Finally we conclude by showing that for $n>1$ there are always operators in $B_n(\D)$ that are not unitarily equivalent to any space with a diagonal kernel.}},
  author       = {{Ellmer, Isak}},
  issn         = {{1404-6342}},
  language     = {{eng}},
  note         = {{Student Paper}},
  series       = {{Master's Theses in Mathematical Sciences}},
  title        = {{Unitary Equivalence of Cowen-Douglas Operators and Diagonal Reproducing Kernels}},
  year         = {{2025}},
}