Skip to main content

LUP Student Papers

LUND UNIVERSITY LIBRARIES

The Phragmén-Lindelöf Principle and Its Applications

Lindell, Mathilda LU (2025) In Bachelor's Theses in Mathematical Sciences MATK11 20251
Mathematics (Faculty of Engineering)
Mathematics (Faculty of Sciences)
Centre for Mathematical Sciences
Abstract
This thesis discusses an extension of the classical maximum modulus principle to unbounded domains, called the Phragmén-Lindelöf principle. The principle is illustrated in strips, half planes and sectors, as well as through the related Hadamard theorems. The thesis is concluded by proving applications of the Phragmén-Lindelöf principle within Fourier analysis and operator theory. The applications within Fourier analysis are the Hausdorff-Young inequality and Hardy's uncertainty principle, and the application within operator theory is the Riesz-Thorin interpolation theorem.
Popular Abstract (Swedish)
Komplexa tal kom till som ett verktyg för att lösa andra- och tredjegradsekvationer. Till en början sågs de som värdelösa utanför det specifika användningsområdet, men har sedan dess visat sig vara mycket användbara inom flera matematiska fält och även utanför matematiken. Ett sådant exempel är kvantmekanik inom fysiken.

Den gren av matematiken som tagit de komplexa talen från ekvationslösning till de många tillämpningar vi känner till idag kallas för komplex analys. Detta fält studerar funktioner av komplexa tal. Funktioner av särskild betydelse är så kallade holomorfa funktioner, vilket är funktioner som är deriverbara i komplex mening. Holomorfa funktioner har visat sig ha många egenskaper som generellt inte delas med reella... (More)
Komplexa tal kom till som ett verktyg för att lösa andra- och tredjegradsekvationer. Till en början sågs de som värdelösa utanför det specifika användningsområdet, men har sedan dess visat sig vara mycket användbara inom flera matematiska fält och även utanför matematiken. Ett sådant exempel är kvantmekanik inom fysiken.

Den gren av matematiken som tagit de komplexa talen från ekvationslösning till de många tillämpningar vi känner till idag kallas för komplex analys. Detta fält studerar funktioner av komplexa tal. Funktioner av särskild betydelse är så kallade holomorfa funktioner, vilket är funktioner som är deriverbara i komplex mening. Holomorfa funktioner har visat sig ha många egenskaper som generellt inte delas med reella differentierbara funktioner. Exempelvis kan holomorfa funktioner deriveras oändligt många gånger, medan det finns reella differentierbara funktioner som inte kan det.

Detta arbete behandlar en metod för att avgöra om en holomorf funktion är begränsad i en obegränsad domän. En klassisk sats inom komplex analys säger att i en begränsad domän är en holomorf funktion begränsad av sitt maximala absolutbelopp på domänens rand. Phragmén-Lindelöf-principen beskriver en metod som utvidgar denna sats till att gälla i obegränsade domäner. Mer specifikt, om en holomorf funktion är begränsad på randen av en obegränsad domän och funktionen uppfyller en restriktiv tillväxt i domänen så är funktionen begränsad i hela domänen. Tekniken som Phragmén-Lindelöf-principen beskriver används för att bevisa detta för olika domäner.

Phragmén-Lindelöf-principen har flera tillämpningar, både inom komplex analys och andra fält. I detta arbete diskuteras bland annat tillämpningar inom Fourieranalys, som även det är en matematisk gren med många tillämpningar, till exempel inom fysik och kemi. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
Lindell, Mathilda LU
supervisor
organization
course
MATK11 20251
year
type
M2 - Bachelor Degree
subject
keywords
Phragmén-Lindelöf principle, maximum modulus principle, complex analysis
publication/series
Bachelor's Theses in Mathematical Sciences
report number
LUNFMA-4176-2025
ISSN
1654-6229
other publication id
2025:K15
language
English
id
9206853
date added to LUP
2025-09-24 17:48:23
date last changed
2025-09-24 17:48:23
@misc{9206853,
  abstract     = {{This thesis discusses an extension of the classical maximum modulus principle to unbounded domains, called the Phragmén-Lindelöf principle. The principle is illustrated in strips, half planes and sectors, as well as through the related Hadamard theorems. The thesis is concluded by proving applications of the Phragmén-Lindelöf principle within Fourier analysis and operator theory. The applications within Fourier analysis are the Hausdorff-Young inequality and Hardy's uncertainty principle, and the application within operator theory is the Riesz-Thorin interpolation theorem.}},
  author       = {{Lindell, Mathilda}},
  issn         = {{1654-6229}},
  language     = {{eng}},
  note         = {{Student Paper}},
  series       = {{Bachelor's Theses in Mathematical Sciences}},
  title        = {{The Phragmén-Lindelöf Principle and Its Applications}},
  year         = {{2025}},
}