Skip to main content

LUP Student Papers

LUND UNIVERSITY LIBRARIES

On the Hausdorff measure and the Kakeya Conjecture in R^2

Andersson, Kim LU (2025) In Bachelor's Theses in Mathematical Sciences MATK11 20251
Mathematics (Faculty of Engineering)
Mathematics (Faculty of Sciences)
Centre for Mathematical Sciences
Abstract
The purpose of this thesis is to cover the definition and basic properties of the Hausdorff measure and treat the proofs of Davies and Cordoba of the Kakeya conjecture in R^2. The conjecture states that any compact set in R^2 containing a line in every direction has Hausdorff dimension 2. Using mainly basic measure theory we construct the Hausdorff measure and develop relevant theorems, such as Marstrand's projection theorem and a version of Frostman's lemma.
Popular Abstract (Swedish)
Fraktaler är mängder som har detaljer på varje skala. För många sådana mängder är mått som area och längd inte tillräckligt som en beskrivning av storlek. Ta exempelvis den inverterade Koch-kurvan. Kurvan skapas genom att vi tar bort mittdelen av varje sidlängd i omkretesen av en triangel och byter ut den med de andra två sidorna av en liksidig triangel baserat på denna mittdel.

Upprepar vi denna process ett oändligt antal gånger, får vi en kurva som inte har area, men som tydligt är mer komplicerad än en linje. För att representera dessa typer av strukturer tittar vi på hur dess storlek förändras i skala relativt till andra former. Om vi förstorar en 2-dimensionell figur med en storleskfaktor 2, förstoras dess area med 2^2. Om vi... (More)
Fraktaler är mängder som har detaljer på varje skala. För många sådana mängder är mått som area och längd inte tillräckligt som en beskrivning av storlek. Ta exempelvis den inverterade Koch-kurvan. Kurvan skapas genom att vi tar bort mittdelen av varje sidlängd i omkretesen av en triangel och byter ut den med de andra två sidorna av en liksidig triangel baserat på denna mittdel.

Upprepar vi denna process ett oändligt antal gånger, får vi en kurva som inte har area, men som tydligt är mer komplicerad än en linje. För att representera dessa typer av strukturer tittar vi på hur dess storlek förändras i skala relativt till andra former. Om vi förstorar en 2-dimensionell figur med en storleskfaktor 2, förstoras dess area med 2^2. Om vi förstorar den inverterade Koch-kurvan med en storleksfaktor 2 förstoras dess storlek med ungefär 2^{1,26}. Därav säger vi att kurvan har en fraktaldimension på ungefär 1,26. Det är med hjälp av fraktaldimensionen som vi får en tydlig representation av att exempelvis den inverterade Koch-kurvan inte är en area, men är mer komplicerad än en linje.

En applikation av fraktaldimensioner behandlar Kakeya mängder. Dessa karaktäriseras av att man ska kunna rita ett linjesegment av längd 1 i varje riktning inuti mängden. Det finns flera exempel på former som uppfyller detta krav, till exempel en cirkel med radie 1/2. En viktig fråga är då, vad är den minsta arean som krävs för att en mängd ska uppfylla kravet? Det visar sig att vi kan göra former som har hur liten area som helst. Detta leder till en fundamental fråga, finns det en mängd med fraktaldimension mindre än 2? Svaret på detta är nej, och denna avhandlingen ger en direkt väg till att bevisa detta påstående. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
Andersson, Kim LU
supervisor
organization
alternative title
Hausdorffmåttet och Kakeyaförmodan i R^2
course
MATK11 20251
year
type
M2 - Bachelor Degree
subject
keywords
Kakeya conjecture, Marstrand's theorem, Frostman's lemma, Hausdorff measure, Comparable net measure, Measure theory
publication/series
Bachelor's Theses in Mathematical Sciences
report number
LUNFMA-4181-2025
ISSN
1654-6229
other publication id
2025:K28
language
English
id
9213639
date added to LUP
2025-10-20 13:09:55
date last changed
2025-10-20 13:09:55
@misc{9213639,
  abstract     = {{The purpose of this thesis is to cover the definition and basic properties of the Hausdorff measure and treat the proofs of Davies and Cordoba of the Kakeya conjecture in R^2. The conjecture states that any compact set in R^2 containing a line in every direction has Hausdorff dimension 2. Using mainly basic measure theory we construct the Hausdorff measure and develop relevant theorems, such as Marstrand's projection theorem and a version of Frostman's lemma.}},
  author       = {{Andersson, Kim}},
  issn         = {{1654-6229}},
  language     = {{eng}},
  note         = {{Student Paper}},
  series       = {{Bachelor's Theses in Mathematical Sciences}},
  title        = {{On the Hausdorff measure and the Kakeya Conjecture in R^2}},
  year         = {{2025}},
}