Decompounding on Symmetric Spaces
(2026) In Master's Theses in Mathematical Sciences MATM03 20252Mathematics (Faculty of Engineering)
Mathematics (Faculty of Sciences)
Centre for Mathematical Sciences
- Abstract
- Lévy processes are the left-invariant cadlag Markov processes on a Lie group or homogeneous space. This thesis deals with compound processes, the Lévy processes obtained as random walks whose walking frequency is driven by a homogeneous Poisson process. Methods of decompounding, i.e. the problem of inferring the step distribution of a compound process, will be established and analyzed. It will be shown that decompounding on symmetric spaces is possible for low-frequency sampling, with convergence in probability. The probability that the squared-norm error of the estimated probability density is greater than a given tolerance will be shown to decrease at an inverse proportional rate to the number of available observations. The method relies... (More)
- Lévy processes are the left-invariant cadlag Markov processes on a Lie group or homogeneous space. This thesis deals with compound processes, the Lévy processes obtained as random walks whose walking frequency is driven by a homogeneous Poisson process. Methods of decompounding, i.e. the problem of inferring the step distribution of a compound process, will be established and analyzed. It will be shown that decompounding on symmetric spaces is possible for low-frequency sampling, with convergence in probability. The probability that the squared-norm error of the estimated probability density is greater than a given tolerance will be shown to decrease at an inverse proportional rate to the number of available observations. The method relies on a Fourier series expansion, and it will be shown that the number of approximating terms can be chosen in a manner that depends only on the number of available observations and intrinsic properties of the underlying Lie group on which the process appears. (Less)
- Popular Abstract (Swedish)
- Inom matematisk statistik behandlas vanligtvis problemet att med hjälp av begränsad information uppskatta händelser av olika slag. I generell mening behöver informationen inte nödvändigtvis vara tal, utan kan exempelvis vara observationer av formen på en elektrisk våg eller av himlakroppars konfiguration. En vanlig gemensam egenskap hos informationen är emellertid att den härstammar från de matematiska typer av objekt som kallas för grupper. Med hjälp av metoder från algebran kan man studera statistiska problem på grupper, där problemet blir väsentligt enklare än i det mest allmänna fallet.
Historiskt sett är sammanfogningen av algebra och statistik en förhållandevis ny gren av matematiken, med rötter i det tidiga 1900-talet. Det är i... (More) - Inom matematisk statistik behandlas vanligtvis problemet att med hjälp av begränsad information uppskatta händelser av olika slag. I generell mening behöver informationen inte nödvändigtvis vara tal, utan kan exempelvis vara observationer av formen på en elektrisk våg eller av himlakroppars konfiguration. En vanlig gemensam egenskap hos informationen är emellertid att den härstammar från de matematiska typer av objekt som kallas för grupper. Med hjälp av metoder från algebran kan man studera statistiska problem på grupper, där problemet blir väsentligt enklare än i det mest allmänna fallet.
Historiskt sett är sammanfogningen av algebra och statistik en förhållandevis ny gren av matematiken, med rötter i det tidiga 1900-talet. Det är i denna kontext speciellt vanligt att studera slumpvandringar. Det klassiska exemplet på en slumpvandring är följande: Singla en slant och observera om det blir krona eller klave. Om det är krona så tas ett steg fram, och om det är klave så tas ett steg bak. Processen upprepas och kursen som tas är den resulterande slumpvandringen.
Det som i exemplet ovan orsakar hur steg tas är mycket enkelt att förstå, det vill säga singlandet av slanten, men antag att situationen betraktas utifrån: En person ses vandra fram och tillbaka, till synes slumpmässigt. Trots att vandringen i sig syns klart och tydligt, så är det svårt att direkt se vad som orsakar ett steg att tas bakåt eller framåt. Kanske slås en sexsidig tärning där ett steg framåt tas endast då tärningen landar på sidan sex, eller kanske är det antalet steg som skall tas som avgörs av tärningen, eller så finns det en helt annan process som avgör steget. Det huvudsakliga målet med detta arbete är, mer eller mindre, att etablera metoder för att avgöra hur denna underliggande verkan beter sig enbart genom att betrakta vandringen själv. En sådan metod kommer att kallas att dekomponera (eng. decompounding) en slumpvandring.
Dekomponering av slumpvandringar dyker upp i diverse vetenskapliga problem så som i studerandet av köbildning och dess orsaker i den finansiella matematiken, eller i den optiska fysiken där det används för att studera spridningen hos en infallande elektromagnetisk våg. Att etablera matematiskt sofistikerade metoder för dekomponering är således viktigt för både den matematiska och allmänvetenskapliga kunskapsutvecklingen. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
http://lup.lub.lu.se/student-papers/record/9219211
- author
- Kennerland, Erik LU
- supervisor
- organization
- course
- MATM03 20252
- year
- 2026
- type
- H2 - Master's Degree (Two Years)
- subject
- keywords
- Lévy Processes on Lie Groups, Convolution Semigroups, Compound Process, Homogeneous Spaces, Statistical Inference on Manifolds
- publication/series
- Master's Theses in Mathematical Sciences
- report number
- LUNFMA-3161-2025
- ISSN
- 1404-6342
- other publication id
- 2025:E107
- language
- English
- id
- 9219211
- date added to LUP
- 2026-02-27 14:12:23
- date last changed
- 2026-02-27 14:12:23
@misc{9219211,
abstract = {{Lévy processes are the left-invariant cadlag Markov processes on a Lie group or homogeneous space. This thesis deals with compound processes, the Lévy processes obtained as random walks whose walking frequency is driven by a homogeneous Poisson process. Methods of decompounding, i.e. the problem of inferring the step distribution of a compound process, will be established and analyzed. It will be shown that decompounding on symmetric spaces is possible for low-frequency sampling, with convergence in probability. The probability that the squared-norm error of the estimated probability density is greater than a given tolerance will be shown to decrease at an inverse proportional rate to the number of available observations. The method relies on a Fourier series expansion, and it will be shown that the number of approximating terms can be chosen in a manner that depends only on the number of available observations and intrinsic properties of the underlying Lie group on which the process appears.}},
author = {{Kennerland, Erik}},
issn = {{1404-6342}},
language = {{eng}},
note = {{Student Paper}},
series = {{Master's Theses in Mathematical Sciences}},
title = {{Decompounding on Symmetric Spaces}},
year = {{2026}},
}