Skip to main content

LUP Student Papers

LUND UNIVERSITY LIBRARIES

p-Adic Numbers and Quadratic Forms

Tinghammar Jönsson, Siri LU (2020) In Bachelor's Theses in Mathematical Sciences MATK11 20201
Mathematics (Faculty of Engineering)
Mathematics (Faculty of Sciences)
Abstract
In this paper, we outline the construction and the basic properties of the p-adic number fields. Moreover we prove Hensel's lemma and show an application thereof. Lastly we cover symmetric bilinear forms and quadratic forms over general rings, finite fields, the p-adic and rational numbers.
Popular Abstract (Swedish)
För nästan 1800 år sedan levde den grekiska matematikern Diofantos av Alexandria. I hans skrifter är det mycket som skiljer sig från matematik som vi känner den idag; Diofantos använde sig till exempel varken av 0 eller negativa tal i sina uträkningar. Men trots detta påbörjade han studiet av problem som matematiker fortfarande är sysselsatta med. År 1900 presenterade den tyske matematikern David Hilbert en lista på 23 olösta problem som han ansåg vara av stor vikt. Problem nummer tio handlar om diofantiska ekvationer, vilket är algebraiska ekvationer med heltalskoefficienter, till vilka man söker heltalslösningar, och den låter som följer:
"Givet en diofantisk ekvation med ett godtyckligt antal okända kvantiteter och rationella numeriska... (More)
För nästan 1800 år sedan levde den grekiska matematikern Diofantos av Alexandria. I hans skrifter är det mycket som skiljer sig från matematik som vi känner den idag; Diofantos använde sig till exempel varken av 0 eller negativa tal i sina uträkningar. Men trots detta påbörjade han studiet av problem som matematiker fortfarande är sysselsatta med. År 1900 presenterade den tyske matematikern David Hilbert en lista på 23 olösta problem som han ansåg vara av stor vikt. Problem nummer tio handlar om diofantiska ekvationer, vilket är algebraiska ekvationer med heltalskoefficienter, till vilka man söker heltalslösningar, och den låter som följer:
"Givet en diofantisk ekvation med ett godtyckligt antal okända kvantiteter och rationella numeriska heltalskoefficienter: Att utforma en process enligt vilken det kan bestämmas inom ett ändligt antal operationer om ekvationen har en rationell heltalslösning."
Här ska "rationella heltal" förstås som heltalen som vi känner dem. Hilbert undrade alltså om det finns en algoritm för att bestämma om det finns en lösning eller ej till en given diofantisk ekvation. 70 år efter Hilbert formulerade frågan bevisades det att en sådan process inte är möjlig att utforma, ett resultat som kallas MRDP-satsen efter sina upphovsmän Matiyasevich, Robinson, Davis och Putnam.


För en speciell slags diofantiska ekvationer finns dock en algoritm som uppfyller Hilberts krav: när ekvationerna definieras av kvadratiska former, det vill säga homogena ekvationer av grad 2. Algoritmen använder sig av kompletteringar av de rationella talen med respekt till ett primideal (p) eller till det oändliga primtalet, konstruktioner som vi kommer studera mer ingående i början av denna uppsats. Mer specifikt använder man sig av Hasse-Minkowskis sats, som säger att en kvadratisk form har en lösning i de rationella talen om och endast om den har en lösning i alla kompletteringar av denna kropp.
Man kan alltså nöja sig med att undersöka om den givna ekvationen har lösningar i alla kompletteringar av de rationella talen, vilket är en betydligt enklare uppgift, som vi kommer bidra med verktyg till i denna text. Dessutom behöver man endast undersöka ändligt många kompletteringar, eftersom det är nog att ta de primtal i betraktning som delar ekvationens koefficienter.

Principen om att undersöka lokala lösningar och försöka lyfta dem till en global lösning kallas Hasses lokal-global-princip. Den håller inte alltid - till exempel inte i homogena ekvationer av grad 3 - men i fallet med kvadratiska former lyckas försöket. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
Tinghammar Jönsson, Siri LU
supervisor
organization
course
MATK11 20201
year
type
M2 - Bachelor Degree
subject
keywords
p-adic numbers, quadratic forms, number theory, algebra
publication/series
Bachelor's Theses in Mathematical Sciences
report number
LUNFMA-4100-2020
ISSN
1654-6229
other publication id
2020:K15
language
English
id
9022145
date added to LUP
2024-10-07 14:22:13
date last changed
2024-10-07 14:22:13
@misc{9022145,
  abstract     = {{In this paper, we outline the construction and the basic properties of the p-adic number fields. Moreover we prove Hensel's lemma and show an application thereof. Lastly we cover symmetric bilinear forms and quadratic forms over general rings, finite fields, the p-adic and rational numbers.}},
  author       = {{Tinghammar Jönsson, Siri}},
  issn         = {{1654-6229}},
  language     = {{eng}},
  note         = {{Student Paper}},
  series       = {{Bachelor's Theses in Mathematical Sciences}},
  title        = {{p-Adic Numbers and Quadratic Forms}},
  year         = {{2020}},
}