Skip to main content

LUP Student Papers

LUND UNIVERSITY LIBRARIES

Plateau's Problem and Minimal Surfaces

Andersson, Viktor LU (2023) In Bachelor's Theses in Mathematical Sciences MATK11 20231
Mathematics (Faculty of Engineering)
Mathematics (Faculty of Sciences)
Centre for Mathematical Sciences
Abstract
We introduce the basic theory of currents as continuous linear functionals on compactly supported smooth differential forms. By using slicing and metric-space-valued functions of bounded variation, we prove that the subspace of integer-multiplicity rectifiable currents with locally finite mass enjoy a certain sequential compactness property. This compactness theorem is then used to prove the existence of solutions to Plateau's problem for integer-multiplicity rectifiable currents.
Popular Abstract (Swedish)
Har du någonsin funderat på varför såpbubblor tar den form de gör? Mer specifikt, tänk dig att du doppar ner ett böjbart ihopknutet snöre i såpa så att ett tunnt lager formas. Om du håller snöret i en cirkel så kommer cirkeln fyllas, det är kanske inget konstigt, men vad händer med såpan om du börjar böja på snöret? Den yta som bildas är ett exempel på vad som i matematiken kallas för en minimal yta - det är den yta som har minst area av alla möjliga ytor som kan uppstå från ditt snöre. På ett liknande sätt skulle vi kunna titta på alla möjliga kurvor vi kan rita mellan två punkter på ett papper utan att lyfta pennan. Den som har minst längd (vilket kommer att vara en rak linje mellan punkterna) är en minimal kurva. På liknande sätt kan... (More)
Har du någonsin funderat på varför såpbubblor tar den form de gör? Mer specifikt, tänk dig att du doppar ner ett böjbart ihopknutet snöre i såpa så att ett tunnt lager formas. Om du håller snöret i en cirkel så kommer cirkeln fyllas, det är kanske inget konstigt, men vad händer med såpan om du börjar böja på snöret? Den yta som bildas är ett exempel på vad som i matematiken kallas för en minimal yta - det är den yta som har minst area av alla möjliga ytor som kan uppstå från ditt snöre. På ett liknande sätt skulle vi kunna titta på alla möjliga kurvor vi kan rita mellan två punkter på ett papper utan att lyfta pennan. Den som har minst längd (vilket kommer att vara en rak linje mellan punkterna) är en minimal kurva. På liknande sätt kan man titta på motsvarigheterna till detta i n-dimensioner; även fast vi inte kan visualisera detta så bra så kan vi fortfarande beskriva det matematiskt. Det är i dessa n-dimensionella situationer inte längre så uppenbart vad som kommer att hända, eller om det ens existerar analoger till minimala ytor. Problemet att visa att dessa minimala ytor existerar och att hitta dem kallas Plateaus problem, och är ett problem som inte är så lätt att lösa som det kanske verkar. I den här texten visar vi att om vi tittar på en sorts generaliserade ytor, så kallade rektifierbara strömmar (rectifiable currents på engelska), så existerar det lösningar till Plateaus problem för dem. Vi visar alltså att en sorts generaliserade minimala ytor alltid existerar. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
Andersson, Viktor LU
supervisor
organization
course
MATK11 20231
year
type
M2 - Bachelor Degree
subject
keywords
geometric measure theory, calculus of variations, differential geometry, Plateau's problem, minimal surfaces, compactness theorem, currents, rectifiable currents, differential forms, slicing, MBV functions
publication/series
Bachelor's Theses in Mathematical Sciences
report number
LUNFMA-4148-2023
ISSN
1654-6229
other publication id
2023:K19
language
English
id
9135022
date added to LUP
2024-12-18 14:28:37
date last changed
2024-12-18 14:28:37
@misc{9135022,
  abstract     = {{We introduce the basic theory of currents as continuous linear functionals on compactly supported smooth differential forms. By using slicing and metric-space-valued functions of bounded variation, we prove that the subspace of integer-multiplicity rectifiable currents with locally finite mass enjoy a certain sequential compactness property. This compactness theorem is then used to prove the existence of solutions to Plateau's problem for integer-multiplicity rectifiable currents.}},
  author       = {{Andersson, Viktor}},
  issn         = {{1654-6229}},
  language     = {{eng}},
  note         = {{Student Paper}},
  series       = {{Bachelor's Theses in Mathematical Sciences}},
  title        = {{Plateau's Problem and Minimal Surfaces}},
  year         = {{2023}},
}