Advanced

Asymptotic Analysis of Hedging Errors Induced by Discrete Time Hedging

Brodén, Mats LU (2010) In Doctoral theses in mathematical sciences, 2010:6
Abstract (Swedish)
Popular Abstract in Swedish

Under de senaste decennierna har matematisk modellering av finansiella marknader rönt stor uppmärksamhet både inom akademi och inom industri. Ett område som har visats särskilt intresse är prissättning av finansiella instrument så som optioner.



En europeisk köpoption på en underliggande aktie är ett kontrakt som ger innehavaren rätten att vid en förutbestämt tidpunkt, kallad slutdag, köpa den underliggande aktien till ett förutbestämt pris, kallat lösenpris. Om aktiens värde vid slutdagen är mindre än det överenskomna lösenpriset är värdet på optionen vid denna tidpunkt lika med noll. Om istället aktiens värde är större än lösenpriset är optionens värde lika med skillnaden... (More)
Popular Abstract in Swedish

Under de senaste decennierna har matematisk modellering av finansiella marknader rönt stor uppmärksamhet både inom akademi och inom industri. Ett område som har visats särskilt intresse är prissättning av finansiella instrument så som optioner.



En europeisk köpoption på en underliggande aktie är ett kontrakt som ger innehavaren rätten att vid en förutbestämt tidpunkt, kallad slutdag, köpa den underliggande aktien till ett förutbestämt pris, kallat lösenpris. Om aktiens värde vid slutdagen är mindre än det överenskomna lösenpriset är värdet på optionen vid denna tidpunkt lika med noll. Om istället aktiens värde är större än lösenpriset är optionens värde lika med skillnaden mellan aktiens värde och lösenpriset. Detta innebär att den som säljer en option utsätter sig för en risk, nämligen risken för att aktiens värde vid slutdagen är större än lösenpriset och i det fall behöva betala ut skillnaden mellan aktiens värde och lösenpriset.



En central frågeställning inom finansiell matematik är hur man ska prissätta denna typ av kontrakt. Alltså, vilket pris ska säljaren begära för optionen för att vara villig att utsätta sig för den risk det innebär att ställa ut en option och vilket pris kan köparen tänkas vara villig att betala för chansen att aktiens värde är större än lösenpriset.



I en artikel av Fisher Black and Myron Scholes från 1973 visas hur optioner under särskilda antaganden om den finansiella marknaden kan prissättas och hur risken associerad med att ställa ut en option helt kan elimineras. För att säljaren av optionen ska kunna eliminera risken krävs att pengarna från försäljningen av optionen investeras i den underliggande aktien och i ett bankkonto, och att säljaren har möjlighet att kontinuerligt handla i dessa två tillgångar. Har säljaren av optionen handlat i den underliggande aktien och bankkontot på rätt sätt kommer sedan värdet av portföljen bestående av den underliggande aktien och pengarna på bankkontot vara lika med värdet på optionen vid slutdagen. Att handla i den underliggande aktien och bankkontot med avsikt att reducera risken kopplad till försäljningen av en option kallas hedging och portföljen bestående av aktien och bankkontot kallas ofta för hedge-portfölj.



Om utställaren av optionen inte har möjlighet att handla kontinuerligt kommer det uppstå en skillnad mellan värdet på optionen och värdet på portföljen på slutdagen. Denna skillnad som kallas hedge-fel är i regel slumpmässig. Huvudmålet med denna avhandling är att undersöka särskilda slumpmässiga egenskaper hos hedge-fel som är inducerade av diskret justering av hedge-portföljen.



I den första delen av avhandlingen undersöker vi hedge-felet då hedge-portföljen justeras adaptivt och härleder ett uttryck som kan användas till att få en uppfattning om hedge-felets varians. Vi undersöker även situationer där hedge-portföljen förutom den underliggande aktien och bankkontot även innehåller en option på samma underliggande aktie men med annan slutdag och lösenpris. Vi visar att denna hedge-portfölj presterar väsentligt bättre än en hedge-portfölj som endast innehåller den underliggande aktien och bankkontot.



En matematisk modell av en finansiell marknad innehåller en uppsättning parametrar som på förhand är okända. Att skatta parametrarna i en matematisk modell från observerade marknadspriser på optioner kallas att kalibrera modellen. En observation av skattade parametrar från marknadsdata är att parametrar som enligt den matematiska modellen ska vara konstanta från dag till dag i själva verket inte alls kan sägas vara konstanta. I den sista delen av avhandlingen introducerar vi ett statistiskt ramverk som tar hänsyn till med tiden varierande parametrar och osäkerheten i observerade optionspriser på ett konsistent vis. Vi redogör även för hur dessa parametrar sekventiellt från dag till dag kan kalibreras med hjälp av rekursiva filter så som Kalmanfilter. (Less)
Abstract
The first part of this thesis deals with approximations of stochastic integrals and discrete time hedging of derivative contracts; two closely related subjects. Paper A considers the problem of approximating the value of a Wiener process. The discretization points are placed at times when the absolute difference between the value of the process and the approximation reaches a threshold level. It is shown that the difference between the process and the approximation normalized by the threshold level tends to a random variable that is triangularly distributed as the threshold level tends to zero. In Paper B the result from Paper A is generalized to Wiener driven SDEs, and then applied to adaptive discrete time hedging. The hedge portfolio is... (More)
The first part of this thesis deals with approximations of stochastic integrals and discrete time hedging of derivative contracts; two closely related subjects. Paper A considers the problem of approximating the value of a Wiener process. The discretization points are placed at times when the absolute difference between the value of the process and the approximation reaches a threshold level. It is shown that the difference between the process and the approximation normalized by the threshold level tends to a random variable that is triangularly distributed as the threshold level tends to zero. In Paper B the result from Paper A is generalized to Wiener driven SDEs, and then applied to adaptive discrete time hedging. The hedge portfolio is rebalanced when the absolute difference between the delta of the hedge portfolio and the derivative contract reaches a threshold level. The rate of convergence of the expected squared hedging error as the threshold level approaches zero is analyzed. In Paper C discrete time hedging on an equidistant time grid using two hedge instruments is investigated. It is shown that this hedging scheme improves the order of convergence of the mean squared hedging error considerably compared to the case when one hedge instrument is used. In Paper D we analyze the errors arising from discrete readjustment of the hedge portfolio when hedging options in exponential Lévy models, and establish the rate at which the expected squared error goes to zero when the readjustment frequency increases



The second part of the thesis concerns parameter estimation of option pricing models. A framework based on a state-space formulation of the option pricing model is introduced. Introducing a measurement error of observed market prices the measurements are treated in a statistically consistent way. This will reduce the effect of noisy measurements. Also, by introducing stochastic dynamics for the parameters the statistical framework is made adaptive. In a simulation study it is shown that the filtering framework is capable of tracking parameters as well as latent processes. We compare estimates from S&P 500 option data using Extended Kalman Filters as well as Iterated Extended Kalman Filters with estimates using the standard methods weighted least squares and penalized weighted least squares. It is shown that the filter estimates are the most accurate. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
supervisor
opponent
  • Professor Korn, Ralf, Fachbereich Mathematik Universität, Kaiserslautern, Tyskland
organization
publishing date
type
Thesis
publication status
published
subject
keywords
Discrete time hedging, discretization error, L2 convergence, Non-linear Kalman filters, Calibration
in
Doctoral theses in mathematical sciences, 2010:6
pages
176 pages
publisher
Centre for Mathematical Sciences, Lund University
defense location
Lecture hall MH:C, Center of Mathematics, Sölvegatan 18, Lund University Faculty of Engineering
defense date
2010-11-05 10:15
ISSN
1404-0034
ISBN
978-91-7473-024-1
language
English
LU publication?
yes
id
28015d64-7b8f-4590-856d-73a50c6fb2ea (old id 1690237)
date added to LUP
2010-10-11 14:24:56
date last changed
2018-05-29 09:35:02
@phdthesis{28015d64-7b8f-4590-856d-73a50c6fb2ea,
  abstract     = {The first part of this thesis deals with approximations of stochastic integrals and discrete time hedging of derivative contracts; two closely related subjects. Paper A considers the problem of approximating the value of a Wiener process. The discretization points are placed at times when the absolute difference between the value of the process and the approximation reaches a threshold level. It is shown that the difference between the process and the approximation normalized by the threshold level tends to a random variable that is triangularly distributed as the threshold level tends to zero. In Paper B the result from Paper A is generalized to Wiener driven SDEs, and then applied to adaptive discrete time hedging. The hedge portfolio is rebalanced when the absolute difference between the delta of the hedge portfolio and the derivative contract reaches a threshold level. The rate of convergence of the expected squared hedging error as the threshold level approaches zero is analyzed. In Paper C discrete time hedging on an equidistant time grid using two hedge instruments is investigated. It is shown that this hedging scheme improves the order of convergence of the mean squared hedging error considerably compared to the case when one hedge instrument is used. In Paper D we analyze the errors arising from discrete readjustment of the hedge portfolio when hedging options in exponential Lévy models, and establish the rate at which the expected squared error goes to zero when the readjustment frequency increases<br/><br>
<br/><br>
The second part of the thesis concerns parameter estimation of option pricing models. A framework based on a state-space formulation of the option pricing model is introduced. Introducing a measurement error of observed market prices the measurements are treated in a statistically consistent way. This will reduce the effect of noisy measurements. Also, by introducing stochastic dynamics for the parameters the statistical framework is made adaptive. In a simulation study it is shown that the filtering framework is capable of tracking parameters as well as latent processes. We compare estimates from S&amp;P 500 option data using Extended Kalman Filters as well as Iterated Extended Kalman Filters with estimates using the standard methods weighted least squares and penalized weighted least squares. It is shown that the filter estimates are the most accurate.},
  author       = {Brodén, Mats},
  isbn         = {978-91-7473-024-1},
  issn         = {1404-0034},
  keyword      = {Discrete time hedging,discretization error,L2 convergence,Non-linear Kalman filters,Calibration},
  language     = {eng},
  pages        = {176},
  publisher    = {Centre for Mathematical Sciences, Lund University},
  school       = {Lund University},
  series       = {Doctoral theses in mathematical sciences, 2010:6},
  title        = {Asymptotic Analysis of Hedging Errors Induced by Discrete Time Hedging},
  year         = {2010},
}