Advanced

Continuity and Positivity Problems in Pseudo-differential Calculus

Toft, Joachim LU (1996)
Abstract (Swedish)
Popular Abstract in Swedish

Inom fysiken studeras bl a olika jämviktssystem. Med ett system i jämviktsläge menas att det krävs en yttre kraft för att ändra på tillståndet i systemet. För att beskriva det mera matematiskt kan vi (ofta) relatera systemet ifråga till en s k operator. För operatorer definieras ett annorlunda positivitetsbegrepp än för vanliga tal och man kan stoppa in olika objekt som operatorn operarar på och få ut olika värden. Det minsta värdet för operatorn beskriver systemets grundtillstånd, eller om man så vill dess lägsta energitillstnd. De olika energinivåerna för systemet är av allmänt intresse. Om den högsta möjliga energinivån är ändlig blir operatorn kontinuerlig.



Exempel på... (More)
Popular Abstract in Swedish

Inom fysiken studeras bl a olika jämviktssystem. Med ett system i jämviktsläge menas att det krävs en yttre kraft för att ändra på tillståndet i systemet. För att beskriva det mera matematiskt kan vi (ofta) relatera systemet ifråga till en s k operator. För operatorer definieras ett annorlunda positivitetsbegrepp än för vanliga tal och man kan stoppa in olika objekt som operatorn operarar på och få ut olika värden. Det minsta värdet för operatorn beskriver systemets grundtillstånd, eller om man så vill dess lägsta energitillstnd. De olika energinivåerna för systemet är av allmänt intresse. Om den högsta möjliga energinivån är ändlig blir operatorn kontinuerlig.



Exempel på sådant system är ett barn som klättrat upp i en klätterställning. När det väl har kommit högst upp har det erhållit maximal energi för systemet.



Om vi dessutom har att summan av möjliga energiniver för systemet är ändligt kommer motsvarande operator att bli en "extrasnäll" sådan som kallas för en spårklassoperator. För att studera olika snällhetsklasser bland de kontinuerliga operatorerna införs s k Schatten-von Neumannklasser av ordning <i>p</i> för operatorer. Om <i>p=1</i> erhålls spårklassoperatorerna, som är de snällaste, varefter de blir obehagligare med växande <i>p</i>. I de flesta praktiska situationer kan operatorn för systemet relateras till en s k Weylsymbol som är en generaliserad funktion, en s k distribution. Vi låter <i>s<sub>p</sub></i> vara de distributioner, vars motsvarande operatorer ligger i Schatten-von Neumannklassen av ordning <i>p</i>.



I första delen av arbetet visas några allmänna resultat för olika <i>s<sub>p</sub></i>, där vi visar att dessa kan filtreras genom varandra (i en s k faltning) och även med funktioner som ligger i de inom matematiken kända <i>L p</i>-rummen. I andra delen av arbetet visas att vissa villkor på Weylsymbolen leder till att systemet ifråga har en minsta energi. Resultaten är nära relaterade till Hörmanders förbättring av Melins olikhet. I sista delen av arbetet studerar vi entropibegreppet i matematisk tappning (,d v s funktioners entropi). Vi visar att i vissa fall kan dessa begrepp vara till stor nytta för att bestämma minimal energi för givet system. (Less)
Abstract
The paper deals with various positivity and continuity questions arising in the Weyl calculus of pseudo-differential operators. Let <i>W</i> be a symplectic vector space. In the first part of the paper we discuss positivity and continuity properties in spaces <i>s<sub>p</sub></i>(<i>W</i>) of distributions, whose Weyl quantizations are in the Schatten-von Neumann class of the order <i>p</i>> 1. In particular we prove some Young related inequalities for ordinary products and convolution products of elements in <i>s<sub>p</sub></i>(<i>W</i>) and <i>L p</i>(W). An important ingredient in the proofs is the use of twisted... (More)
The paper deals with various positivity and continuity questions arising in the Weyl calculus of pseudo-differential operators. Let <i>W</i> be a symplectic vector space. In the first part of the paper we discuss positivity and continuity properties in spaces <i>s<sub>p</sub></i>(<i>W</i>) of distributions, whose Weyl quantizations are in the Schatten-von Neumann class of the order <i>p</i>> 1. In particular we prove some Young related inequalities for ordinary products and convolution products of elements in <i>s<sub>p</sub></i>(<i>W</i>) and <i>L p</i>(W). An important ingredient in the proofs is the use of twisted convolutions.



In the second part of the paper we develop a decomposition technique in the space <i>s<sub>1</sub></i>(<i>W</i>) to treat some lower bound problems in the Weyl calculus. As an application we prove a result which is related to Hörmander's improvement of Melin's inequality.



We also give a survey of some entropy inequalities that are useful when studying lower bounds for pseudo-differential operators after these have been represented in the form of Toeplitz operators. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
opponent
  • Lerner, Nicolas
organization
publishing date
type
Thesis
publication status
published
subject
keywords
funktionsanalys, fourieranalys, Serier, functional analysis, Fourier analysis, Series, Entropy., Young's inequality, Twisted convolution, Schatten-von Neumann, Lower bounds, Weyl Calculus, Pseudo-differential Operqator, Continuity, Positivity
pages
116 pages
publisher
Mathematics (Faculty of Sciences)
defense location
Sal A i MA
defense date
1996-10-31 10:15
external identifiers
  • other:ISRN: LUNFD6/NFMA--1007--SE
ISSN
0347-8475
ISBN
91-628-2213-6
language
English
LU publication?
yes
id
333ecfb4-e490-4402-bd16-923c081b41b3 (old id 17536)
date added to LUP
2007-05-24 10:00:31
date last changed
2016-09-19 08:44:56
@phdthesis{333ecfb4-e490-4402-bd16-923c081b41b3,
  abstract     = {The paper deals with various positivity and continuity questions arising in the Weyl calculus of pseudo-differential operators. Let &lt;i&gt;W&lt;/i&gt; be a symplectic vector space. In the first part of the paper we discuss positivity and continuity properties in spaces &lt;i&gt;s&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt;(&lt;i&gt;W&lt;/i&gt;) of distributions, whose Weyl quantizations are in the Schatten-von Neumann class of the order &lt;i&gt;p&lt;/i&gt;&gt; 1. In particular we prove some Young related inequalities for ordinary products and convolution products of elements in &lt;i&gt;s&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt;(&lt;i&gt;W&lt;/i&gt;) and &lt;i&gt;L p&lt;/i&gt;(W). An important ingredient in the proofs is the use of twisted convolutions.<br/><br>
<br/><br>
In the second part of the paper we develop a decomposition technique in the space &lt;i&gt;s&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/i&gt;(&lt;i&gt;W&lt;/i&gt;) to treat some lower bound problems in the Weyl calculus. As an application we prove a result which is related to Hörmander's improvement of Melin's inequality.<br/><br>
<br/><br>
We also give a survey of some entropy inequalities that are useful when studying lower bounds for pseudo-differential operators after these have been represented in the form of Toeplitz operators.},
  author       = {Toft, Joachim},
  isbn         = {91-628-2213-6},
  issn         = {0347-8475},
  keyword      = {funktionsanalys,fourieranalys,Serier,functional analysis,Fourier analysis,Series,Entropy.,Young's inequality,Twisted convolution,Schatten-von Neumann,Lower bounds,Weyl Calculus,Pseudo-differential Operqator,Continuity,Positivity},
  language     = {eng},
  pages        = {116},
  publisher    = {Mathematics (Faculty of Sciences)},
  school       = {Lund University},
  title        = {Continuity and Positivity Problems in Pseudo-differential Calculus},
  year         = {1996},
}