Advanced

Crossings and maxima in Gaussian fields and seas

Sjö, Eva LU (2000) In Doctoral Thesis in Mathematical Sciences 2000:3.
Abstract (Swedish)
Popular Abstract in Swedish

Med ett stokastiskt fält (<i>random field</i>) kan man matematiskt modellera en yta vars struktur och variationer i större eller mindre utsträckning kan beskrivas som slumpmässiga. Ett typexempel är havsytan. Det finns vissa ''regler'' för hur den kan se ut, men det exakta utseendet hos en viss våg uppfattas som slumpmässigt. Reglerna omfattar bland annat medelnivån, hur vanliga olika frekvenser och vågtal är samt vågornas möjliga höjdvariationer. Allt detta kan sammanfattas i det stokastiska fältets fördelning (<i>distribution</i>) och energispektrum (<i>spectrum</i> eller <i>spectral density</i>). Ett spektrum talar om hur stor del av havets... (More)
Popular Abstract in Swedish

Med ett stokastiskt fält (<i>random field</i>) kan man matematiskt modellera en yta vars struktur och variationer i större eller mindre utsträckning kan beskrivas som slumpmässiga. Ett typexempel är havsytan. Det finns vissa ''regler'' för hur den kan se ut, men det exakta utseendet hos en viss våg uppfattas som slumpmässigt. Reglerna omfattar bland annat medelnivån, hur vanliga olika frekvenser och vågtal är samt vågornas möjliga höjdvariationer. Allt detta kan sammanfattas i det stokastiska fältets fördelning (<i>distribution</i>) och energispektrum (<i>spectrum</i> eller <i>spectral density</i>). Ett spektrum talar om hur stor del av havets totala energi som vågor med en viss frekvens utgör. Alla exempel i denna avhandling behandlar normalfördelade fält (<i>Gaussian fields</i>), vilket betyder att nivån i en godtyckligt vald punkt är normalfördelad kring medelnivån.



Dimensionen på det stokastiska fältet anges efter parametern (koordinaterna). En stillbild av havet är tvådimensionell (två rumskoordinater) medan en rörlig yta är tredimensionell (två rums- och en tidskoordinat). Det är naturligtvis inte bara havet och likande ytor som kan modelleras med stokastiska fält, utan även ''ytor'' i högre dimensioner. Exempelvis kan koncentrationen av en luftförorening modelleras med ett fyrdimensionellt fält, tre rums- och en tidskoordinat. Om parametern är endimensionell, t.ex. bara tid, talar man om en stokastisk process.



I avhandlingen koncentrerar vi oss på korsningspunkter (<i>crossing points</i>) i de stokastiska fälten. Detta är punkter där fältet, dess gradient (lutning) eller dylikt passerar en viss nivå. Det kan exempelvis vara där fältet passerar medelnivån eller där lutningen är noll (så kallade stationära punkter). I ett stokastiskt fält med känd fördelning (t.ex. normalfördelning) och känt spektrum kan man beräkna intensiteten för korsningspunkter av olika typer, d.v.s. hur vanliga de är, med hjälp av en generalisering av Rice formel (<i>Rice's formula</i>), som är mycket central i sammanhanget.



Nästa steg är att definiera korsningsvariabler relaterade till korsningspunkterna. Till en stationär punkt kan exempelvis nivån eller krökningen kopplas. För sådana variabler härleder vi fördelningen, d.v.s. hur variabelns möjliga värden fördelar sig sannolikhetsmässigt. De fördelningar vi studerar kallas ergodiska fördelningar (<i>ergodic distributions</i>). Dess fördelningsfunktion, d.v.s. sannolikheten att variabelns värde är mindre än ett visst värde, ges av kvoten mellan antalet observerade korsningspunkter där variabelns värde understiger det specificerade värdet och totala antalet observerade korsningspunkter. När antalet observerade korsningspunkter går mot oändligheten konvergerar denna kvot mot kvoten mellan intensiteten av korsningspunkter där variabelns värde understiger det specificerade värdet och intensiteten av alla korsningspunkter.



Avhandlingen är sammansatt av fem artiklar, i vilka vi studerar olika tillämpningar av stokastiska fält, korsningspunkter och fördelningar för korsningsvariabler. Härledda formler för fördelning och tillhörande täthetsfunktion är ofta komplicerade och stor tonvikt läggs på beräkningsmetoder samt tolkning och förståelse av resultaten. I alla artiklar ges utförliga tillämpade exempel. (Less)
Abstract
In this thesis the focus is on crossing points in random fields and the probability distributions of various crossing variables in different applications. The crossing points are generalisations to random fields of points of level crossings by stochastic processes. Only crossing events that occur at distinct points in the parameter space are considered, for example stationary points (zero-crossings by the gradient). Crossing variables are variables that are defined attached to a crossing point, for example the height of a local maximum.



The intensity of crossing points is given by a generalisation of Rice's formula for the expected number of level crossings, and the formulation of Zähle (1984) [<i>Stoch. Proc.... (More)
In this thesis the focus is on crossing points in random fields and the probability distributions of various crossing variables in different applications. The crossing points are generalisations to random fields of points of level crossings by stochastic processes. Only crossing events that occur at distinct points in the parameter space are considered, for example stationary points (zero-crossings by the gradient). Crossing variables are variables that are defined attached to a crossing point, for example the height of a local maximum.



The intensity of crossing points is given by a generalisation of Rice's formula for the expected number of level crossings, and the formulation of Zähle (1984) [<i>Stoch. Proc. Appl.</i> 17 :255-283], which is valid under very mild conditions, is used.



The distributions of the crossing variables are derived in the ergodic, or Palm, sense conditioned on the related crossing points. An ergodic distribution is given by a ratio of intensities, for which the generalised Rice's formula is used. Further, the density function of the ergodic distribution is for some types of crossing variables derived using Durbin's formula for the first passage density.



The thesis consists of an introductory survey of the subject and related theory, followed by five included papers (A-E) where different applications are studied. In addition to the derivation of formulae for the ergodic distributions and their densities, emphasis is on computation of the formulae under the assumption that the random field is Gaussian. All presented results are numerically exemplified, and when numerical approximations are necessary, the method used and its accuracy is discussed. Some of the results are also verified by simulations.



In Paper A, the intensity of local maxima of nonhomogeneous random fields is the basis for evaluation of approximative confidence regions for the local maxima of reconstructed surfaces.



In Paper B, the global maximum is studied. The density of the height and position of the global maximum is derived for absolutely continuous stochastic processes. The result can be applied to both stationary and non-stationary processes.



A Gaussian homogeneous spatio-temporal random field is often used to model the water free-surface of a sea. In Papers C, D, and E, this application is studied, and examples of analysed crossing variables are spatio-temporal wave characteristics, wave velocities, and wave characteristics of extremal waves. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
opponent
  • Professor Robert J. Adler, Robert J. Adler, The Technion, Haifa, Israel
organization
publishing date
type
Thesis
publication status
published
subject
keywords
operations research, Statistics, random waves, extremes, generalised Rice's formula, level-crossings, Gaussian random fields, programming, actuarial mathematics, Statistik, operationsanalys, programmering, aktuariematematik
in
Doctoral Thesis in Mathematical Sciences
volume
2000:3
pages
124 pages
publisher
Centre for Mathematical Sciences, Lund University
defense location
September 8, 2000, 1:15 pm. Centre for Mathematical Sciences, Sölvegatan 18, room MH:A
defense date
2000-09-08 13:15
external identifiers
  • other:ISRN: LUTFMS-1013-2000
ISSN
1404-0034
ISBN
91-628-4299-4
language
English
LU publication?
yes
id
e5fb6e66-c7d3-4cbc-a6f8-50ee811d8f53 (old id 40684)
date added to LUP
2007-09-27 16:13:32
date last changed
2016-09-19 08:44:54
@phdthesis{e5fb6e66-c7d3-4cbc-a6f8-50ee811d8f53,
  abstract     = {In this thesis the focus is on crossing points in random fields and the probability distributions of various crossing variables in different applications. The crossing points are generalisations to random fields of points of level crossings by stochastic processes. Only crossing events that occur at distinct points in the parameter space are considered, for example stationary points (zero-crossings by the gradient). Crossing variables are variables that are defined attached to a crossing point, for example the height of a local maximum.<br/><br>
<br/><br>
The intensity of crossing points is given by a generalisation of Rice's formula for the expected number of level crossings, and the formulation of Zähle (1984) [&lt;i&gt;Stoch. Proc. Appl.&lt;/i&gt; 17 :255-283], which is valid under very mild conditions, is used.<br/><br>
<br/><br>
The distributions of the crossing variables are derived in the ergodic, or Palm, sense conditioned on the related crossing points. An ergodic distribution is given by a ratio of intensities, for which the generalised Rice's formula is used. Further, the density function of the ergodic distribution is for some types of crossing variables derived using Durbin's formula for the first passage density.<br/><br>
<br/><br>
The thesis consists of an introductory survey of the subject and related theory, followed by five included papers (A-E) where different applications are studied. In addition to the derivation of formulae for the ergodic distributions and their densities, emphasis is on computation of the formulae under the assumption that the random field is Gaussian. All presented results are numerically exemplified, and when numerical approximations are necessary, the method used and its accuracy is discussed. Some of the results are also verified by simulations.<br/><br>
<br/><br>
In Paper A, the intensity of local maxima of nonhomogeneous random fields is the basis for evaluation of approximative confidence regions for the local maxima of reconstructed surfaces.<br/><br>
<br/><br>
In Paper B, the global maximum is studied. The density of the height and position of the global maximum is derived for absolutely continuous stochastic processes. The result can be applied to both stationary and non-stationary processes.<br/><br>
<br/><br>
A Gaussian homogeneous spatio-temporal random field is often used to model the water free-surface of a sea. In Papers C, D, and E, this application is studied, and examples of analysed crossing variables are spatio-temporal wave characteristics, wave velocities, and wave characteristics of extremal waves.},
  author       = {Sjö, Eva},
  isbn         = {91-628-4299-4},
  issn         = {1404-0034},
  keyword      = {operations research,Statistics,random waves,extremes,generalised Rice's formula,level-crossings,Gaussian random fields,programming,actuarial mathematics,Statistik,operationsanalys,programmering,aktuariematematik},
  language     = {eng},
  pages        = {124},
  publisher    = {Centre for Mathematical Sciences, Lund University},
  school       = {Lund University},
  series       = {Doctoral Thesis in Mathematical Sciences},
  title        = {Crossings and maxima in Gaussian fields and seas},
  volume       = {2000:3},
  year         = {2000},
}