Phase Transitions in Large Oscillator Lattices

Abstract

This thesis deals with large networks of limit cycle oscillators. A limit cycle oscillator is a dynamical system that has a periodic attractor in phase space, and is defined in continuous time. To each such oscillator one can associate a natural frequency. Virtually all biological systems that show periodic oscillations can be seen as limit cycle oscillators. The same is true for oscillating mechanical or electrical systems that are driven and damped. We study lattices of limit cycle oscillators in the thermodynamic limit where the number of oscillators goes to infinity. The natural frequencies are assigned randomly in the lattice from a given density function. If the width s of this density function is small enough, and the coupling strength g between the oscillators is large enough, it may happen that a non-zero portion r of the oscillators attain the same frequency. A phase transition towards temporal order takes place when a system parameter (e.g. s or g) is changed so that r becomes non-zero. Such a phase transition can be seen, for example, in an applauding theatre audience. Suddenly everyone may find themselves clapping in unison. Another example is the onset of an epileptic fit. Then an abnormally large portion of the brain cells synchronise their electrical activity.



We study one-dimensional oscillator chains for two different types of oscillator models. One type applies generally in the limits of small s and small g. The other type applies for many kinds of oscillators that interact with short pulses. In both cases we prove analytically that there is a critical coupling strength g (at a given s), at which the system switches from no frequency order (r = 0) to perfect order (r = 1). We also study two-dimensional oscillator lattices numerically. The oscillators interact with short pulses. We find that there is one phase transition to partial frequency order (0 < r < 1) as g increases, and a second transition to perfect frequency order (r = 1). Between these phase transitions the system seems critical, with spatial self-similarity and infinite transient time.



A more applied part of the study deals with the sinus node. The sinus node is the natural pacemaker of the heart. It consists of millions of cells, each of which is a limit cycle oscillator that fires electrical signals with its own natural frequency. All these cells attain the same working frequency in the healthy heart, and thus stimulate the cardiac muscle to contract regularly. By means of simulations we investigate which cardiac arrhythmias may arise from a backward phase transition at which this perfect frequency order is lost. We find that most cardiac rhythm disorders associated with a malfunctioning sinus node can be produced by this condition. We also put forward the hypothesis that some features of the sinus node have evolved to protect it from going through such a backward phase transition. We support this hypothesis by means of simulation and argumentation.

Abstract (Swedish)

Popular Abstract in Swedish

Denna avhandling handlar om stora nätverk av oscillatorer. En oscillator är ett system som beter sig periodiskt. Speciellt handlar avhandlingen om oscillatorer som har ett typiskt beteende. En egenskap som varje sådan oscillator har är den naturliga frekvens med vilken beteendet upprepas. Om vi stör oscillatorn, så återvänder den så småningom till sitt typiska beteende. Ett näraliggande exempel är en gående person. Vi har alla vår individuella gångstil, som våra vänner känner igen på långt håll. Om vi störs av en arg hund som jagar oss en stund, så återvänder vi till vårt typiska sätt att gå när vi lugnat ner oss. Men om vi kopplar ihop flera sådana oscillatorer i nätverk, kommer de aldrig att följa sina individuella typiska beteenden, eftersom de ständigt kommer att påverka och störa varandra. Om två vänner går på promenad tillsammans händer det ofta att de finner sig gå precis i takt, även om de går olika fort och med olika steglängd när de är ensamma. De två oscillatorerna har synkroniserat sig och låst sina frekvenser till ett gemensamt värde. Detta fenomen ser man i många tillämpningar. I en teaterpublik händer det ibland att alla spontant börjar klappa händer i takt utan att någon ger en order om det. Speciellt inträffar det om föreställningen varit bra och alla applåderar kraftfullt. Om publiken inte är så entusiastisk, och applåderna försiktigare, brukar var och en klappa på egen hand, med sin egen naturliga frekvens. Skälet är att personerna i publiken (oscillatorerna) i det senare fallet inte påverkar varandra så mycket, eftersom ljudet från de andra personerna som var och en hör är svagare. En fysiker skulle säga att kopplingsstyrkan mellan oscillatorerna i nätverket är för svag för att åstadkomma frekvenslåsning eller synkronisering. Uppenbarligen finns det en kritisk kopplingsstyrka vid vilken nätverket som helhet övergår från ett oordnat till ett ordnat uppförande. Man kan likna en sådan övergång med en fasövergång i fysiken. En fasövergång sker till exempel när vatten fryser. Då temperaturen sjunker under ett kritiskt värde (noll grader Celsius) placerar sig plötsligt alla vattenmolekyler i ett ordnat mönster och en iskristall bildas. Här är det det rumsliga, spatiala ordningen bland vattenmolekylerna som plötsligt ökar, medan det är den temporala ordningen som ökar vid en fasövergång i ett oscillatornätverk där frekvenserna låses. I denna avhandling studerar vi mycket stora oscillatornätverk. I själva verket intresserar vi oss för gränsen då antalet oscillatorer går mot oändligheten. Skälet till detta är att tydliga fasövergångar bara förväntas finnas i denna gräns. I ändliga nätverk blir övergångarna oskarpa eftersom statistiska fluktuationer stör bilden, och inga väldefinierade kritiska kopplingar eller temperaturer finns. Analysen för idealiserade oändliga nätverk kan ändå användas för att förstå hur stora men ändliga nätverk beter sig. I tillämpningarna finns flera sådana nätverk vars dynamik det skulle vara önskvärt att förstå. Många hjärnceller fungerar som oscillatorer, och sänder ut elektriska signaler med individuella naturliga frekvenser. Under ett epileptiskt anfall synkroniseras en abnormt stor andel av hjärncellerna. En oönskad fasövergång har skett. I andra fall är det ordnade tillståndet det önskvärda. I sydostasien samlas ibland miljontals eldflugor av hankön på kvällen i träd längs floderna. Även om flugorna till en början lyser och slocknar med sina egna naturliga frekvenser, så kan hela träd synkroniseras efter ett par timmar, så att de fungerar som stora fyrar. På så vis lockar hannarna effektivt honor till sitt träd.



I våra undersökningar använder vi matematiska modeller av stora oscillatorgitter, och söker efter fasövergångar vars egenskaper kan vara gemensamma för en vid klass av oscillatorer. Vi studerar modellerna dels genom att simulera deras dynamik i datorn, dels genom att utföra matematisk analys. För två olika modeller av långa endimensionella oscillatorkedjor bevisar vi att det finns en fasövergång där alla frekvenser låses till ett gemensamt värde vid en kritisk kopplingsstyrka. Våra simuleringar tyder på att ytterligare en typ av fasövergång är möjlig i tvådimensionella oscillatorgitter (där oscillatorerna placeras i ett rutnät på en yta). Vid svaga kopplingsstyrkor uppstår små sammanhängande områden i gittret vari alla oscillatorerna antar samma frekvens. Man kan jämföra dessa områden med stater på världskartan. Vid en första kritisk koppling växer ett sådant område över alla bräddar, och sträcker sig från kant till kant i gittret. Det finns dock fortfarande kvar mindre områden i form av öar, där oscillatorerna antar en gemensam, men avvikande frekvens. I politiken skulle detta motsvara att en stat blir helt dominerande, och sträcker sig runt hela jorden. Vid den andra kritiska kopplingen antar alla oscillatorer samma frekvens, precis som i det endimensionella fallet. Systemet verkar instabilt mellan de två kritiska kopplingarna, i den meningen att de mindre öarna uppstår och förintas, ändrar storlek och läge, utan att någonsin stabiliseras.



Vi specialiserar oss också till sinusknutan, som är den naturliga pacemakern i hjärtat. Denna består av miljontals celler som vardera är en elektrisk oscillator med en individuell naturlig frekvens. I det friska hjärtat låses frekvenserna, och sinusknutan fungerar som en enhet som skickar ut regelbundna elektriska signaler till resten av hjärtat. Dessa signaler får hjärtat att dra ihop sig. Genom simuleringar av fysiologiska modeller finner vi att de flesta rytmstörningar som man förknippar med en sjuk sinusknuta kan uppkomma efter en omvänd fasövergång, då kopplingsstyrkan mellan cellerna sjunker under det kritiska värde då frekvenslåsningen går förlorad.

• author: Östborn, Per
• supervisor: [unknown] [unknown]
• opponent: Prof Mosekilde, Erik, The Technical University of Denmark, Lyngby
• organization: Classical archaeology and ancient history
• publishing date: 2003
• type: Thesis
• publication status: published
• subject: Physical Sciences
• keywords: Matematisk och allmän teoretisk fysik, thermodynamics, statistical physics, phase transition, limit cycle oscillator, frequency entrainment, synchronization, sinus node, classical mechanics, Mathematical and general theoretical physics, arrhythmia, gravitation, quantum mechanics, relativity, klassisk mekanik, kvantmekanik, relativitet, statistisk fysik, termodynamik, Fysicumarkivet A:2003:Östborn
• pages: 164 pages
• defense location: Lecture Hall B, Dept. of Physics, Sölvegatan 14, Lund Institute of Technology, Lund, Sweden
• defense date: 2003-11-21 13:30:00
• ISBN: 91-628-5890-4
• language: English
• LU publication?: yes
• additional info: Article: Östborn P.Phase transition to frequency entrainmentin a long chain of pulse-coupled oscillators.Phys. Rev. E 66, 016105, 2002 Article: Östborn P., Åberg S., Ohlén G.Phase transitions towards frequency entrainmentin large oscillator lattices.Phys. Rev. E 68, 015104(R), 2003 Article: Östborn P.Frequency entrainment in long oscillator chainswith random natural frequencies in the weakcoupling limit.(Submitted to Phys. Rev. E) Article: Östborn P., Wohlfart B., Ohlén G.Arrhythmia as a result of poor intercellularcoupling in the sinus node: a simulation study.J. Theor. Biol. 211(3), pp 201-217, 2001 Article: Östborn P., Ohlén G., Wohlfart B.Simulated sinoatrial exit blocks explained bycircle map analysis.J. Theor. Biol. 211(3), pp 219-227, 2001 Article: Östborn P.Functional role of the connective tissue and thegap junction distribution in the sinus node.(submitted to J. Theor. Biol.) The information about affiliations in this record was updated in December 2015. The record was previously connected to the following departments: Mathematical Physics (Faculty of Technology) (011040002), Classical archaeology and ancient history (015004001)
• id: ef745a11-f73d-4062-b04d-7db0618ed49d (old id 466324)
• date added to LUP: 2016-04-04 11:31:32
• date last changed: 2018-11-21 21:05:25