Articles on Potential Theory, Functional Analysis and Hankel Forms

Abstract

Paper I: Perfekt, K.-M. and Putinar, M., Spectral bounds for the Neumann-Poincaré operator on planar domains with corners, to appear in J. Anal. Math., (2012).

The boundary double layer potential, or the Neumann-Poincaré operator, is studied on the Sobolev space of order $1/2$ along the boundary, coinciding with the space of charges giving rise to double layer potentials with finite energy in the whole space. Poincaré's program of studying the spectrum of the boundary double layer potential is developed in complete generality, on closed Lipschitz hypersurfaces in Euclidean space. Furthermore, the Neumann-Poincaré operator is realized as a singular integral transform bearing similarities to the Beurling-Ahlfors transform in 2D. As an application, bounds for the spectrum of the Neumann-Poincaré operator are derived from recent results in quasi-conformal mapping theory, in the case of planar curves with corners.



Paper II: Perfekt, K.-M., Duality and distance formulas in spaces defined by means of oscillation, Arkiv för Matematik, (2012), pp. 1-17 (Online First).

For the classical space of functions with bounded mean oscillation, it is well known that VMO** = BMO and there are many characterizations of the distance from a function f in BMO to VMO. When considering the Bloch space, results in the same vein are available with respect to the little Bloch space. In this paper such duality results and distance formulas are obtained by pure functional analysis. Applications include general Möbius invariant spaces such as Q_K-spaces, weighted spaces, Lipschitz-Hölder spaces and rectangular BMO of several variables.



Paper III: Aleman, A. and Perfekt, K.-M., Hankel forms and embedding theorems in weighted Dirichlet spaces, Int. Math. Res. Not., 2012 (2012), pp. 4435-4448.

We show that for a fixed operator-valued analytic function g as its symbol, the boundedness of a bilinear Hankel-type form, defined on appropriate cartesian products of dual weighted Dirichlet spaces of Schatten class-valued functions, is equivalent to corresponding Carleson embedding estimates.

Abstract (Swedish)

Popular Abstract in Swedish

Avhandlingen består av tre matematiska forskningsartiklar.



Den första artikeln, Paper I, undersöker spektrala egenskaper hos Neumann-Poincare-operatorer, även kallade dubbelskiktspotentialoperatorer, för områden med låg regularitet. Operatorernas spektra har kopplingar till elektrostatiska problem, och författarens intresse inleddes i samband med en tidigare artikel som behandlade elektromagnetiska egenskaper hos en dielektrisk kub inbäddad i ett annat dielektriskt material. Mycket fascinerande aspekter av ämnet är de dramatiska förändringar som sker i spektralbilden när ett i övrigt glatt område tillfogas hörn och de stora teoretiska och beräkningsmässiga svårigheter som orsakas av sådana irregulariteter. I Paper I behandlas teorin för Lipschitzområden, vilka grovt kan beskrivas som områden som tillåter förekomst av hörn. För varje sådant område placeras motsvarande operator i ett fysikaliskt naturligt ramverk som tydliggör spektrets uppträdande och belyser kontrasten som uppstår när man jämför operatorns egenskaper för glatta områden och Lipschitzområden. Klassiska ideer härrörande från Poincare och Schiffer generaliseras till Lipschitz-fallet, vilket leder till principer som kan nyttjas till att bestämma spektret. Teorin tillämpas för att uppskatta storleken på spektret och det essentiella spektret för områden med hörn i två dimensioner. Uppskattningarna som erhålls stämmer överens med de få resultat som funnits tillgängliga tidigare.





Paper II handlar om bidualrum, dualrummens dualrum, till vissa Banachrum. Givet en samling storheter, av godtycklig natur, betraktas i artikeln Banachrum M som består av funktioner med egenskapen att storheterna är likformigt begränsade, tillsammans med motsvarande ``små rum'' M_0 som innehåller de funktioner för vilka storheterna går mot noll under vissa, också godtyckligt valda, villkor. I många konkreta exempel av ovan beskrivna konstruktion är det känt att bidualen M**_0 kan representeras som M på ett naturligt sätt, och att avståndet från en funktion f, tillhörande M, till underrummet M_0 kan beskrivas i termer av storheterna. Artikelns syfte är att visa att giltigheten av dessa typer av resultat följer allmänt ur abstrakta resonemang från funktionalanalys och vektorvärd måtteori.



I den sista artikeln, Paper III, ger huvudresultatet en karakterisering av kontinuerliga Hankelformer med vektorvärda symbolfunktioner. En klassisk Hankelform svarar mot en matris med oändligt många rader och kolumner där elementen är lika längs skevdiagonalerna (de uppåt lutande diagonalerna, sedda från vänster till höger). Varje ändlig matris ger alltid upphov till en kontinuerlig operator, vilket i vardagligt språk innebär att en liten förändring i indata inte kan orsaka drastiska förändringar i utdata. I motsats till detta är det för en given oändlig matris inte ett trivialt problem att avgöra om motsvarande operator är kontinuerlig. Resultaten av många matematikers skilda insatser behövde förenas för att slutligen kunna visa att en klassisk Hankelform är kontinuerlig om och endast om symbolfunktionen som genererar dess matriselement uppfyller Carlesons inbäddningsvillkor. I artikeln betraktas en variant av Hankelformer, motsvarande matriser vars element är oändliga vektorer och vars struktur påminner om den för klassiska Hankelformer. Det visas att kontinuitet gäller om och endast om motsvarande vektorvärt inbäddningsvillkor är uppfyllt. En intressant följd av resultatet är att samma inbäddningsvillkor omöjligt kan karakterisera kontinuitet för klassiska Hankelformer med vektorelement.

• author: Perfekt, Karl-Mikael
• supervisor: Alexandru Aleman
• opponent: Professor Rochberg, Richard, Washington University, St. Louis, USA
• organization: Mathematics (Faculty of Sciences)
• publishing date: 2013
• type: Thesis
• publication status: published
• subject: Mathematics
• keywords: Neumann-Poincare operator, layer potential, Lipschitz, spectrum, bidual, predual, distance, BMO, Hankel form, Carleson embedding, vector-valued.
• pages: 64 pages
• defense location: Lund, Matematikcentrum, Sölvegatan 18, sal MH:C
• defense date: 2013-05-17 13:15:00
• language: English
• LU publication?: yes
• id: 680f4b2d-47bc-41c0-8fb4-8fd6456ecb12 (old id 3632586)
• date added to LUP: 2016-04-01 14:21:30
• date last changed: 2018-11-21 20:26:01