Towards an All-Embracing Elliptic Solver in 2D

Abstract

This thesis addresses solving elliptic partial differential equation using integral equation methods, with emphasis on accuracy, speed and stability. Of particular interest are such equations on non-smooth domains, and several different elliptic problems such as electrostatic and elastostatic ones are treated and solved in this setting.

Abstract (Swedish)

Popular Abstract in Swedish

På väg mot en universiell elliptisk lösare i två dimensioner



Elliptiska partiella differentialekvationer används för att beskriva och modellera ett stort antal fysikaliska fenomen som ofta förekommer i industriella processer, till exempel värmeledning; elektromagnetisk spridning hos antenner; långsamma flöden exempelvis vid sedimentering av pappersmassa, eller elastiska spänningar i material under belastning.

Vad är då en elliptisk partiell differentialekvation? Enkelt uttryckt beskriver en partiell differentialekvation (PDE) hur en eller flera storheter beter sig eller samverkar i ett område. Som exempel kan man ta hur temperaturen varierar över en plåt om man värmer i en viss punkt och kyler i en annan. En elliptisk PDE är en speciell typ av PDE som ofta beskriver hur situationen ser ut efter ''lång tid''. När man sätter på värmen och kylningen på plåten ovan kommer de varmare och kallare områdena att växa till en början men efter en viss tid kommer ett jämviktstillstånd nås där temperaturen över plåten inte längre förändras. Temperaturfältet i detta jämviktstillstånd beskrivs av en elliptisk PDE.



Denna avhandling handlar om hur man på ett effektivt och noggrant sätt kan lösa vissa elliptiska PDE:er. Saken är den att matematiskt sett är sådana problem ofta inte särskilt svåra, om man med ett ''svårt''

problem menar ett problem där lösningen förändras mycket om betingelserna, till exempel beräkningsområdet eller randvillkoren, ändras bara lite. Med detta sätt att se är problemet att beräkna temperaturen över plåten ovan ungefär lika svårt som att beräkna cosinus av en vinkel, och det klarar en halvhygglig miniräknare av att göra snabbt och exakt. Ändå nöjer sig de flesta datorprogram som löser elliptiska PDE:er med en lösning som är korrekt till bara tredje eller fjärde värdesiffran. Motiveringen bakom detta är det oftast riktiga påståendet att noggrannare resultat än tre eller fyra siffror inte behövs och att noggrannare resultat kräver längre tid för datorn att beräkna vilket i så fall är bortkastad tid. Men faktum är att man kan få fram mycket noggrannare resultat än så, och snabbt dessutom, om man bara väljer rätt angreppssätt när man ska lösa den elliptiska PDE:n. Vidare kan i vissa tillämpningar hög noggrannhet vara av yttersta vikt om man vill få meningsfulla resultat.



Att lösa PDE:er genom att uttrycka dem som integralekvationer är en gammal teknik med anor åtminstone från förra sekelskiftet, men för datorberäkningar började sådana metoder inte användas i bred utsträckning förrän framåt slutet av 1980-talet. Integralekvationer används i denna avhandling, för lösningarna blir i allmänhet mycket noggrannare än med konkurrerande metoder, och med hjälp av vissa programmeringstekniska hjälpmedel kan de också beräknas mycket snabbt.

En klassisk svårighet med lösningsmetoder som bygger på integralekvationer är att beräkna lösningar på områden med skarpa hörn.

Åtminstone att beräkna dem snabbt och noggrant. Man får problem när man vill beräkna plåtens temperatur om plåten exempelvis är kvadratisk, men det går bra om den är formad som en cirkel: dessa metoder föredrar mjuka kanter.

Detta är givetvis inte acceptabelt, och i den här avhandlingen beskrivs en teknik för att komma tillrätta med hörnproblematik av olika slag som visar sig vara mycket generell, den går att tillämpa på många olika typer av problem. Detta öppnar för möjligheten att utveckla snabba och noggranna lösare för många olika elliptiska PDE:er på områden med godtycklig form, och därmed snabbt och noggrant kunna lösa många vetenskapliga och industriella problem.

• author: Ojala, Rikard
• supervisor: Johan Helsing
• opponent: Tornberg, Anna-Karin, KTH, Stockholm
• organization: Mathematics (Faculty of Engineering)
• publishing date: 2011
• type: Thesis
• publication status: published
• subject: Mathematics
• pages: 134 pages
• defense location: Room MH:C, Centre for Mathematical Sciences, Sölvegatan 18, Lund University Faculty of Engineering
• defense date: 2011-12-02 13:15:00
• ISBN: 978-91-628-8343-0
• language: English
• LU publication?: yes
• additional info: The information about affiliations in this record was updated in December 2015. The record was previously connected to the following departments: Numerical Analysis (011015004)
• id: 9c38c75b-29bb-4f0c-8b64-d65143196179 (old id 2203031)
• date added to LUP: 2016-04-04 09:09:19
• date last changed: 2018-11-21 20:51:09