Studies of vector tomography

Abstract

The motivation to study the kind of problems appearing in this thesis has been ultrasound measurements of flows, from which velocity spectra along lines can be determined. These velocity spectra can mathematically be described by a new non-linear transform, here called the Doppler Spectral Transform (DST).



The Doppler spectral transform has a very rich theory, into which some steps are taken here. Although the problems of existence and uniqueness of an inverse of the Doppler spectral transform remain unsolved, partial results are obtained. For a discrete counterpart, based on a log-polar decomposition, full understanding is achieved.



The first moment of the Doppler spectral transform can be interpreted by means of a vectorial X-ray transform, where integration is made over the components of the vector field along the ray of integration. Using other components, other vectorial integral transforms are obtained, in particular the normal flow Radon transform. In the two dimensional case these transforms are extended to exponential transform of vector fields. Also the possibility of local tomography of vector fields by means of wavelets is discussed. Some steps towards a general vectorial k-plane transform for vector fields are taken.



The problem of reconstructing the flow from the vectorial X-ray transform and normal flow Radon transform is solved, in the non-exponential case in any dimension and in the exponential case in two dimensions. Some results are presented on how to generalise the reconstruction process to the more general setting of sets of vectorial k-plane transforms.



Finally a numerical method to regain the full flow from the Doppler spectral transform is presented. In a preprocessing step, the first moment of the Doppler spectral transform is used to generate a start solution for iteration, and the zeroth moment to determine the region of reflecting particles.}

Abstract (Swedish)

Popular Abstract in Swedish

Bakgrunden till den här avhandlingen är att man vill utveckla en ny mammografimetod, som utnyttjar ultraljud. När en tunn stråle av kontinuerligt ultraljud träffar en partikel, till exempel en blodkropp, som rör sig, så uppstår en reflektion. Frekvensen av den reflekterade signalen är inte densamma som för den utsända. Signalen har fått ett så kallat Dopplerskift, där frekvensskillnaden mellan reflekterad och utsänd signal är proportionell mot partikelns hastighetskomponent i ultraljudsstrålens riktning. En sådan reflekterad signal uppstår för varje partikel längs ultraljudsstrålen. Man får en funktion, där funktionsvärdet i x är proportionellt mot antalet partiklar längs strålen, med hastighetskomponenten x i strålens riktning. Den uppkomna funktionen för en viss stråle L benämnes Dopplerspektraltransformen av flödet längs L. Denna typ av mätning upprepas för ett stort antal strålar.



Dopplerspektraltransformen transform är ny inom matematiken och svår att analysera på grund av sin olineära och kombinatoriska natur. Det går emellertid att, genom att bara använda en del av datan i Dopplerspektraltransformen, få ett rekonstruktionsproblem som påminner en hel del om det som uppkommer vid så kallad datortomografi.



I vanlig datortomografi skickas röntgenstrålar genom objektet man vill undersöka. Då fås ett värde för varje använd stråle, där värdet i princip säger hur mycket ackumulerad dämpning (täthet) det finns längs strålen. Detta värde kan beskrivas av en linjeintegral. Ofta mätes detta värde för strålar som skär en skiva av objektet. Det finns en mängd metoder, att, utgående från sådana mätningar, avbilda skivans inre egenskaper.



Ett av de tomogafiska problem som erhålles då endast en del av informationen i Dopplerspektraltransformen användes, är liknande, fast värdet för respektive stråle är en linjeintegral, där integranden är flödets hastighetskomponent i strålens riktning i stället för tätheten. Denna transform kallas vektoriell X-raytransform. Det visar sig att man från denna transform kan bestämma den ena utav två delar i en så kallad Helmholtzuppdelning av flödet.



Avhandlingen består i princip av två huvudspår. Det ena är att studera den vektoriella X-raytransformen och ta reda på vilka andra integraltransformer som behövs, för att bestämma hela flödet. Det visar sig att det går bra med en så kallad normalflödesRadontransform, där man integrerar över plan. Därvid är det flödets normalkomponent till planet som utgör integrand. Olika metoder för att bestämma flödet från dessa och andra liknande transformer utvecklas. Det andra huvudspåret är att studera hela Dopplerspektraltransformen. Först visas att i ett specialfall är i själva verket hela flödet, upp till en viss känd typ av tvetydigheter, bestämd av den och sedan presenteras en numerisk metod, som kan räkna ut flödet.

• author: Stråhlén, Kent
• supervisor: [unknown] [unknown]
• opponent: Prof. Dr. Maass, Peter, Universität Bremen
• organization: Mathematics (Faculty of Engineering)
• publishing date: 1999
• type: Thesis
• publication status: published
• subject: Mathematics
• keywords: Doppler tomography, Doppler Radon transform, local tomography, vectorial k-plane transform, vectorial Radon transform, k-plane transform, Radon transform, tomography, vector tomography, Mathematics, Matematik
• in: Doctoral Theses in Mathematical Sciences
• volume: 199:8
• pages: 158 pages
• defense location: Centre for mathematical sciences, room MH:C
• defense date: 1999-12-15 13:15:00
• external identifiers: other:ISRN: LUTFMA-1010-1999
• ISSN: 1404-0034
• ISBN: 91-628-3916-0
• language: English
• LU publication?: yes
• id: c948a11c-f752-49f9-bc86-2aa0c66bc286 (old id 19149)
• date added to LUP: 2016-04-01 16:50:39
• date last changed: 2019-05-21 13:24:47