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The spectra of harmonic layer potential operators on domains with rotationally symmetric conical points

Helsing, Johan LU and Perfekt, Karl Mikael LU (2018) In Journal des Mathematiques Pures et Appliquees
Abstract

We study the adjoint of the double layer potential associated with the Laplacian (the adjoint of the Neumann-Poincaré operator), as a map on the boundary surface Γ of a domain in R3 with conical points. The spectrum of this operator directly reflects the well-posedness of related transmission problems across Γ. In particular, if the domain is understood as an inclusion with complex permittivity ε, embedded in a background medium with unit permittivity, then the polarizability tensor of the domain is well-defined when (ε+1)/(ε-1) belongs to the resolvent set in energy norm. We study surfaces Γ that have a finite number of conical points featuring rotational symmetry. On the energy space, we show that the essential spectrum consists of an... (More)

We study the adjoint of the double layer potential associated with the Laplacian (the adjoint of the Neumann-Poincaré operator), as a map on the boundary surface Γ of a domain in R3 with conical points. The spectrum of this operator directly reflects the well-posedness of related transmission problems across Γ. In particular, if the domain is understood as an inclusion with complex permittivity ε, embedded in a background medium with unit permittivity, then the polarizability tensor of the domain is well-defined when (ε+1)/(ε-1) belongs to the resolvent set in energy norm. We study surfaces Γ that have a finite number of conical points featuring rotational symmetry. On the energy space, we show that the essential spectrum consists of an interval. On L2(Γ), i.e. for square-integrable boundary data, we show that the essential spectrum consists of a countable union of curves, outside of which the Fredholm index can be computed as a winding number with respect to the essential spectrum. We provide explicit formulas, depending on the opening angles of the conical points. We reinforce our study with very precise numerical experiments, computing the energy space spectrum and the spectral measures of the polarizability tensor in two different examples. Our results indicate that the densities of the spectral measures may approach zero extremely rapidly in the continuous part of the energy space spectrum. Nous étudions l'adjoint du potentiel de double couche associé à l'opérateur de Laplace (l'adjoint de l'opérateur de Neumann-Poincaré) défini sur la frontière Γ d'un domaine de R3 contenant des points coniques. Le spectre de cet opérateur est intimement lié à la résolution de problèmes de transmission à travers Γ. En particulier, dans le contexte de la propagation des ondes électromagnétiques, si le domaine délimité par Γ représente une inclusion contenant un matériau de permittivité complexe ε, immergé dans un milieu infini de permittivité égale à 1, on peut définir le tenseur de polarisabilité dès que le rapport (ε+1)/(ε-1) appartient à l'ensemble résolvent de l'opérateur au sens de la norme d'énergie. Nous étudions des surfaces Γ qui possèdent un nombre fini de points coniques à symétrie de rotation. Lorsque l'opérateur est défini sur l'espace d'énergie, nous montrons que son spectre essentiel est un intervalle. Lorsqu'il est défini dans l'espace L2(Γ), i.e. pour des fonctions de carré intégrable sur Γ, nous montrons que son spectre est constitué d'une union de courbes, en dehors desquelles on peut calculer l'indice de Fredholm de l'opérateur, comme l'indice par rapport à ces courbes. Nous donnons des formules explicites, en fonction de l'angle d'ouverture des points coniques. Nous complétons notre étude par des expériences numériques très précises, où, pour deux exemples, nous calculons le spectre de l'opérateur au sens de l'espace d'énergie et les mesures spectrales du tenseur de polarisabilité. Nos résultats suggèrent que les densités des mesures spectrales approchent zéro extrêmement rapidement dans la partie continue du spectre au sens de l'espace d'énergie.

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epub
subject
keywords
Layer potential, Neumann-Poincaré operator, Polarizability, Spectrum
in
Journal des Mathematiques Pures et Appliquees
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Elsevier
external identifiers
  • scopus:85041918828
ISSN
0021-7824
DOI
10.1016/j.matpur.2017.10.012
language
English
LU publication?
yes
id
ff3b20a6-2a34-4b42-8c4f-79c5be386e34
date added to LUP
2018-02-21 14:44:16
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2018-06-17 05:30:37
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