Advanced

A Theorem of Wedderburn and Applications

Wiklund, Dennis LU (2016) In Bachelor's Theses in Mathematical Sciences MATK01 20161
Mathematics (Faculty of Sciences)
Abstract
The main focus of this thesis is Wedderburn's theorem that a finite division ring is a field. We present two proofs of this. The thesis also contains a proof of a theorem of Jacobson and a proof of a generalisation by Artin and Zorn that a finite alternative ring is associative, and therefore a field.
Popular Abstract (Swedish)
Inom matematiken finns något som kallas ringar. En ring är en mängd element i vilken man också har definierat de två operationerna addition och multiplikation. Elementen kan vara av olika slag. Det som krävs är att ett antal regler, så kallade axiom, ska också vara uppfyllda i mängden.

Dessa axiom ska gälla för att en mängd R ska vara en ring:

Om a och b är element i R så är a+b och ab också element i R. (slutenhet under addition och subtraktion)
För alla a, b och c i R gäller att (a+b)+c=a+(b+c) och (ab)c=a(bc). (additiv och multiplikativ associativitet)
För alla element a och b i R gäller att a+b=b+a (additiv kommutativitet)
För alla element a, b och c i R gäller att a(b+c)=ab+ac och att (a+b)c=ac+bc. (distributiva lagarna)
Det... (More)
Inom matematiken finns något som kallas ringar. En ring är en mängd element i vilken man också har definierat de två operationerna addition och multiplikation. Elementen kan vara av olika slag. Det som krävs är att ett antal regler, så kallade axiom, ska också vara uppfyllda i mängden.

Dessa axiom ska gälla för att en mängd R ska vara en ring:

Om a och b är element i R så är a+b och ab också element i R. (slutenhet under addition och subtraktion)
För alla a, b och c i R gäller att (a+b)+c=a+(b+c) och (ab)c=a(bc). (additiv och multiplikativ associativitet)
För alla element a och b i R gäller att a+b=b+a (additiv kommutativitet)
För alla element a, b och c i R gäller att a(b+c)=ab+ac och att (a+b)c=ac+bc. (distributiva lagarna)
Det finns ett element 0R i R så att a+0R=0R+a=a för alla a i R. (existens av nollelement)
För alla element a i R finns det ett element –a i R, så att a+(-a)=0R. (existens av additiv invers)

Mängden av alla reela tal och mängden av alla komplexa tal är två exempel på ringar, för alla axiom gäller där. Av samma anledning är mängden av alla heltal en ring. Mängden av udda heltal är däremot inte en ring. Det första axiomet gäller nämligen inte. Både talet 3 och talet 5 tillhör mängden av udda tal, men 5+3=8 är inte ett udda tal.

Det finns vissa ringar R, till exempel mängden av reela tal och mängden av komplexa tal, som uppfyller även dessa tre axiom:
1: Det finns ett element 1R i R så att a1R =1Ra=a för alla a i ringen. (existens av enhetselement)
2: För alla nollskilda element a i R så finns det något element x sådant att ax=1 (existens av multiplikativ invers).
3: För alla element a och b i R så gäller att ab=ba. (multiplikativ kommutativitet)

En divisionsring är en ring som dessutom uppfyller 1 och 2. En kropp är en divisionsring som dessutom uppfyller 3.
Huvuddelen av detta arbete handlar om bevis av Wedderburns sats som säger att en ändlig divisionsring alltid är en kropp. Vad satsen säger är alltså att i en ändlig ring så gäller automatiskt axiom 3 om de allmänna ringaxiomen och 1 och 2 gäller. Detta är inte alls uppenbart utifrån definitionerna. Vid en första anblick ser det inte ut som om det finns så stora kopplingar mellan axiomen. Det krävs en mängd andra matematiska definitioner och satser för att detta ska kunna bevisas ordentligt, och huvuddelen av detta arbete är en utredning av det.

Vidare studeras också så kallade alternativa ringar, vilka är mängder som inte nödvändigtvis uppfyller multiplikativ associativitet men däremot att (ab)b=a(bb), (aa)b=a(ab) och (ab)a=a(ba). Likhet gäller alltså när två av elementen är samma. Det som bevisas här är att i en ändlig alternativ ring där 1 och 2 gäller, så gäller också associativitet, och därför är det en kropp enligt Wedderburns sats.

På slutet ges ett par exempel som visar att det finns oändliga divisionsringar som inte är kroppar, och att det finns oändliga alternativa ringar som inte är associativa. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
Wiklund, Dennis LU
supervisor
organization
course
MATK01 20161
year
type
M2 - Bachelor Degree
subject
keywords
abstract algebra, rings, division rings, fields, alternative rings, Wedderburn, Artin, Zorn, Jacobson
publication/series
Bachelor's Theses in Mathematical Sciences
report number
LUNFMA-4051-2016
ISSN
1654-6229
other publication id
2016:K7
language
English
id
8877252
date added to LUP
2016-08-25 15:16:30
date last changed
2016-08-25 15:16:30
@misc{8877252,
  abstract     = {The main focus of this thesis is Wedderburn's theorem that a finite division ring is a field. We present two proofs of this. The thesis also contains a proof of a theorem of Jacobson and a proof of a generalisation by Artin and Zorn that a finite alternative ring is associative, and therefore a field.},
  author       = {Wiklund, Dennis},
  issn         = {1654-6229},
  keyword      = {abstract algebra,rings,division rings,fields,alternative rings,Wedderburn,Artin,Zorn,Jacobson},
  language     = {eng},
  note         = {Student Paper},
  series       = {Bachelor's Theses in Mathematical Sciences},
  title        = {A Theorem of Wedderburn and Applications},
  year         = {2016},
}