Advanced

On Simplicity of the Projective Special Linear Groups

Nygren, Filip LU (2018) In Bachelor's Theses in Mathematical Sciences MATK01 20172
Mathematics (Faculty of Sciences)
Abstract
In this thesis, we will be proving that the Projective special linear group PSL(m,K) is a simple group for all dimensions m and finite fields K, with a few exceptions. First, we prove simplicity of PSL(2,K) (Jordan-Moore), and then move on to proving simplicity of PSL(m,K) (Jordan-Dickson) for all dimensions m >= 3. The most important tool used to prove this is by using certain linear transformations known as (elementary) transvections.
Popular Abstract (Swedish)
Den form av matematik som de flesta av oss är vana vid handlar om heltal, negativa tal, bråktal och irrationella tal som pi och roten ur 2, samt de fyra räknesätten. Dessa tal kallas för de reella talen och de fyra räknesätten är egentligen bara två räknesätt. Den matematiska strukturen ovan kallas för elementär algebra. Men kan vi skapa andra sådana strukturer? Svaret är ja, och området där man studerar olika algebraiska strukturer kallas abstrakt algebra. En viss typ av struktur kallas för grupp, och har endast ett räknesätt, som brukar kallas för operation inom matematiken. Grupper är användbara för att beskriva olika situationer och system i naturen och i samhället, och de studeras inom gruppteori.
En algebraisk struktur kan byggas... (More)
Den form av matematik som de flesta av oss är vana vid handlar om heltal, negativa tal, bråktal och irrationella tal som pi och roten ur 2, samt de fyra räknesätten. Dessa tal kallas för de reella talen och de fyra räknesätten är egentligen bara två räknesätt. Den matematiska strukturen ovan kallas för elementär algebra. Men kan vi skapa andra sådana strukturer? Svaret är ja, och området där man studerar olika algebraiska strukturer kallas abstrakt algebra. En viss typ av struktur kallas för grupp, och har endast ett räknesätt, som brukar kallas för operation inom matematiken. Grupper är användbara för att beskriva olika situationer och system i naturen och i samhället, och de studeras inom gruppteori.
En algebraisk struktur kan byggas upp av matematiska objekt som inte är tal. Inom linjär algebra studerar man istället vektorer och matriser, som kan skrivas som tabeller av tal. Dessa vektorer och matriser har visat sig
vara, förutom inom matematiken, väldigt användbara bland annat inom
geometri och fysik. I detta arbete kommer vi arbeta med grupper som består av matriser. Dessa matrisgrupper har ett ändligt antal element, och kallas därför ändliga grupper. Om en grupp är ett slutet matematiskt system med en operation på en mängd element, kan det finnas mindre grupper i en grupp? Ja, och dessa kallas för undergrupper. En viss typ av undergrupp kallas för normal undergrupp, och dessa är väldigt viktiga i detta arbete.
För heltal så har primtalen en speciell roll. De fungerar nämligen som byggstenar för heltalen. Inom gruppteorin verkar det som att vissa grupper har en liknande roll. Dessa kallas för enkla grupper, och de kännetecknas av att de inte har några normala undergrupper. Om vi kan hitta alla
enkla grupper, som är byggstenarna för alla ändliga grupper, då vet vi väldigt mycket om ändliga grupper. Så började arbetet med att hitta alla enkla grupper. Grupperna som studeras i detta arbete är en familj av matrisgrupper som heter Projective Special Linear Groups, eller PSL. Det visade sig att nästan alla dessa grupper i denna familj är enkla, och
familjen har därför varit viktig i arbetet att hitta alla ändliga grupper.
Dessa grupper har också visat sig användbara inom något som kallas projektiv geometri, en ny typ av geometri som studeras inom matematiken. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
Nygren, Filip LU
supervisor
organization
course
MATK01 20172
year
type
M2 - Bachelor Degree
subject
keywords
group theory, PSL, simple, simplicity, groups, simple groups
publication/series
Bachelor's Theses in Mathematical Sciences
report number
LUNFMA-4065-2018
ISSN
1654-6229
other publication id
2018:K1
language
English
id
8935153
date added to LUP
2018-06-07 17:31:55
date last changed
2018-06-07 17:31:55
@misc{8935153,
  abstract     = {In this thesis, we will be proving that the Projective special linear group PSL(m,K) is a simple group for all dimensions m and finite fields K, with a few exceptions. First, we prove simplicity of PSL(2,K) (Jordan-Moore), and then move on to proving simplicity of PSL(m,K) (Jordan-Dickson) for all dimensions m >= 3. The most important tool used to prove this is by using certain linear transformations known as (elementary) transvections.},
  author       = {Nygren, Filip},
  issn         = {1654-6229},
  keyword      = {group theory,PSL,simple,simplicity,groups,simple groups},
  language     = {eng},
  note         = {Student Paper},
  series       = {Bachelor's Theses in Mathematical Sciences},
  title        = {On Simplicity of the Projective Special Linear Groups},
  year         = {2018},
}