Advanced

On Intersections of Algebraic Curves and Applications to Elliptic Curves

Lindén, Karl LU (2018) In Bachelor's Thesis in Mathematical Sciences MATK01 20181
Mathematics (Faculty of Sciences)
Abstract
In this thesis we state and give elementary proofs for some fundamental results about intersections of algebraic curves, namely Bezout's, Max Noether's, Pappus's, Pascal's and Chasles' theorems. Our main tools are linear algebra and basic ring theory. We conclude the thesis by applying the results to elliptic curves.
Popular Abstract (Swedish)
I denna kandidatuppsats visas vissa grundläggande satser inom algebraisk
geometri. Satserna tillämpas slutligen på elliptiska kurvor, vilka är
intressenta, bland annat för deras tillämplighet inom talteori, och
speciellt kryptografi.

Bezouts, Max Noethers, Pappus, Pascals och Chasles satser, vilka visas
här, har varit kända länge. Det äldsta resultatet, Pappus sats, visades
nämligen redan på 300-talet e. Kr., visserligen utan de metoder som
används här. Cirka 1500 år senare visade Max Noether sin
fundamentalsats, vilket är det nyaste resultatet som visas här. Trots
åldern är resultaten oumbärliga verktyg för att verkligen förstå de
moderna tillämpningarna inom elliptiska kurvor.

Även om viktiga resultat, som bland annat... (More)
I denna kandidatuppsats visas vissa grundläggande satser inom algebraisk
geometri. Satserna tillämpas slutligen på elliptiska kurvor, vilka är
intressenta, bland annat för deras tillämplighet inom talteori, och
speciellt kryptografi.

Bezouts, Max Noethers, Pappus, Pascals och Chasles satser, vilka visas
här, har varit kända länge. Det äldsta resultatet, Pappus sats, visades
nämligen redan på 300-talet e. Kr., visserligen utan de metoder som
används här. Cirka 1500 år senare visade Max Noether sin
fundamentalsats, vilket är det nyaste resultatet som visas här. Trots
åldern är resultaten oumbärliga verktyg för att verkligen förstå de
moderna tillämpningarna inom elliptiska kurvor.

Även om viktiga resultat, som bland annat Lenstras algoritm för snabb
primtalsfaktorisering av stora heltal, och asymmetrisk kryptering med
hjälp av elliptiska kurvor, inte visas här, så har dessa tillämpningar
gemensamt att de bygger på att man kan definiera addition på elliptiska
kurvor, vilket visas rigoröst i denna uppsats.

Metoderna som används är elementära och kräver endast förkunskaper inom
linjär algebra och grundläggande ringteori. Bevisen kommer från böcker
(se referenslistan) i algebraisk geometri, men de som hittas i dessa är
mycket mer kortfattade, än de som presenteras här. Detta arbete fyller
i detaljerna i resonemangen, för att göra materialet tillgängligt för
människor med grundläggande matematisk skolning. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
Lindén, Karl LU
supervisor
organization
alternative title
Skärningar av Algebraiska kurvor med tillämpning på elliptiska kurvor
course
MATK01 20181
year
type
M2 - Bachelor Degree
subject
keywords
Bezout's theorem, Max Noether's fundamental theorem, Pappus's theorem, Pascal's theorem, Chasles' theorem, algebraic curves, elliptic curves
publication/series
Bachelor's Thesis in Mathematical Sciences
report number
LUNFMA-4073-2018
ISSN
1654-6229
other publication id
2018:K12
language
English
id
8943385
date added to LUP
2018-06-11 15:37:55
date last changed
2018-06-11 15:37:55
@misc{8943385,
  abstract     = {In this thesis we state and give elementary proofs for some fundamental results about intersections of algebraic curves, namely Bezout's, Max Noether's, Pappus's, Pascal's and Chasles' theorems. Our main tools are linear algebra and basic ring theory. We conclude the thesis by applying the results to elliptic curves.},
  author       = {Lindén, Karl},
  issn         = {1654-6229},
  keyword      = {Bezout's theorem,Max Noether's fundamental theorem,Pappus's theorem,Pascal's theorem,Chasles' theorem,algebraic curves,elliptic curves},
  language     = {eng},
  note         = {Student Paper},
  series       = {Bachelor's Thesis in Mathematical Sciences},
  title        = {On Intersections of Algebraic Curves and Applications to Elliptic Curves},
  year         = {2018},
}