An Introduction to Dirichlet Series
(2018) In Bachelor's Theses in Mathematical Sciences MATK01 20172Mathematics (Faculty of Engineering)
Mathematics (Faculty of Sciences)
- Abstract
- We establish the central convergence properties of ordinary Dirichlet series, including the classical result by Bohr, providing uniform convergence of the series where it has a bounded analytic continuation. We also derive a lower bound for the supremum of Dirichlet polynomials using Kronecker's theorem, of which we see one proof. With this knowledge and some probability theory we can follow the work of Queffélec and Boas proving the existence of random series, with terms ±n^-s, with certain convergence properties. In particular Boas work is a probabilistic version of what Bohnenblust and Hille did, namely showing that the estimate of the distance of the abscissae of absolute and uniform convergence - estimated from above by 1/2 - is... (More)
- We establish the central convergence properties of ordinary Dirichlet series, including the classical result by Bohr, providing uniform convergence of the series where it has a bounded analytic continuation. We also derive a lower bound for the supremum of Dirichlet polynomials using Kronecker's theorem, of which we see one proof. With this knowledge and some probability theory we can follow the work of Queffélec and Boas proving the existence of random series, with terms ±n^-s, with certain convergence properties. In particular Boas work is a probabilistic version of what Bohnenblust and Hille did, namely showing that the estimate of the distance of the abscissae of absolute and uniform convergence - estimated from above by 1/2 - is sharp. An abscissa denotes the vertical lines Re(s) to the right of which the Dirichlet series converges and to the left of which it diverges (in some sense of convergence), and is throroughly introduced in Chapter 1. (Less)
- Popular Abstract (Swedish)
- En funktion som har fått mycket uppmärksamhet bland matematiker är den så kallade Riemanns zeta-funktion, som definieras med hjälp av en summa av oändligt antal termer, en så kallad serie:
zeta(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ...
Här är s=a+ib en komplex variabel med en reell del a och en imaginär del, där i har egenskapen i^2=-1. Värdet på den här serien kommer givetvis bero på vilket värde på s man använder, och det kan ge serien både ett ändligt och ett oändligt värde. T.ex. så har man lyckats visa att zeta(2) = 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... = pi^2/6 men också att zeta(1) = 1+ 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... = ∞, d.v.s. blir oändligt stort. Man kan visa att om s = a + ib har realdel a > 1 så har serien ett ändligt värde. I övriga fall... (More) - En funktion som har fått mycket uppmärksamhet bland matematiker är den så kallade Riemanns zeta-funktion, som definieras med hjälp av en summa av oändligt antal termer, en så kallad serie:
zeta(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ...
Här är s=a+ib en komplex variabel med en reell del a och en imaginär del, där i har egenskapen i^2=-1. Värdet på den här serien kommer givetvis bero på vilket värde på s man använder, och det kan ge serien både ett ändligt och ett oändligt värde. T.ex. så har man lyckats visa att zeta(2) = 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... = pi^2/6 men också att zeta(1) = 1+ 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... = ∞, d.v.s. blir oändligt stort. Man kan visa att om s = a + ib har realdel a > 1 så har serien ett ändligt värde. I övriga fall säger man att serien inte är definierad, och då behöver man ett annat sätt att ge mening till zeta-funktionen.
Anledningen till att den här funktionen är så uppmärksammad är att den har en nära koppling till primtalen, och det har länge varit ett olöst problem att hitta alla dess nollställen, dvs de s sådana att zeta(s) = 0. Riemann själv formulerade en hypotes om att alla (icke-triviala) nollställen finns längs en linje s = 1/2 + ib, och Hardy har bevisat att längs den här linjen finns det oändligt många nollställen. Däremot är det ingen hittills som har lyckats visa att hypotesen faktiskt är sann eller hittat ett motbevis genom ett nollställe utanför linjen. Många matematiker har funderat på det här problemet och The Clay Mathematics Institute har till och med utlyst en belöning på 1 miljon dollar till den som löser det, som en del av deras sju prisbelönta Milleniumproblem.
Ett försök att bättre förstå den här funktionen har varit att undersöka en mer allmän serie
a_1/1 + a_2/2^s + a_3/3^s + a_4/4^s + ...
I fallet av zeta-funktionen så noterar vi att a_n = 1, för alla n. Den här mer allmänna serien kallas en Dirichlet-serie. Det visar sig att alla serier som har den formen delar en hel del gemensamma egenskaper, som man därför hoppas kan ge insikt om Riemann's zeta-funktion.
Det här arbetet går främst ut på att kartlägga de så kallade konvergensegenskaperna hos Dirichletserier. Det handlar om att undersöka vilka s man kan stoppa in i serien dserien för att den ska ha ett ändligt värde och kunna definieras. På vägen betraktar vi relevanta exempel med en nära koppling till Riemann's zeta-funktion och stöter på ett par matematiska resultat intressanta i sig. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
http://lup.lub.lu.se/student-papers/record/8995153
- author
- Dagasan, Eda LU
- supervisor
- organization
- course
- MATK01 20172
- year
- 2018
- type
- M2 - Bachelor Degree
- subject
- keywords
- Mathematics, Dirichlet Series, Riemann Zeta Function, Complex Analysis, Bohr's Theorem
- publication/series
- Bachelor's Theses in Mathematical Sciences
- report number
- LUNFMA-4068-2018
- ISSN
- 1654-6229
- other publication id
- 2018:K5
- language
- English
- id
- 8995153
- date added to LUP
- 2020-03-17 13:36:35
- date last changed
- 2020-03-17 13:36:35
@misc{8995153,
abstract = {{We establish the central convergence properties of ordinary Dirichlet series, including the classical result by Bohr, providing uniform convergence of the series where it has a bounded analytic continuation. We also derive a lower bound for the supremum of Dirichlet polynomials using Kronecker's theorem, of which we see one proof. With this knowledge and some probability theory we can follow the work of Queffélec and Boas proving the existence of random series, with terms ±n^-s, with certain convergence properties. In particular Boas work is a probabilistic version of what Bohnenblust and Hille did, namely showing that the estimate of the distance of the abscissae of absolute and uniform convergence - estimated from above by 1/2 - is sharp. An abscissa denotes the vertical lines Re(s) to the right of which the Dirichlet series converges and to the left of which it diverges (in some sense of convergence), and is throroughly introduced in Chapter 1.}},
author = {{Dagasan, Eda}},
issn = {{1654-6229}},
language = {{eng}},
note = {{Student Paper}},
series = {{Bachelor's Theses in Mathematical Sciences}},
title = {{An Introduction to Dirichlet Series}},
year = {{2018}},
}