Systems of linear nonautonomous differential equations - Instability and eigenvalues with negative real part
(2020) In Bachelor's Thesis Mathematical Sciences 2020:K1 MATK11 20182Mathematics (Faculty of Engineering)
Mathematics (Faculty of Sciences)
- Abstract (Swedish)
- For an autonomous system of linear differential equations we are able to determine stability and instability with classical criteria, by looking at the eigenvalues. If the system is stable, all the eigenvalues have negative real part and if the system is unstable, there exist at least one eigenvalue with positive real part.
However, if it were to be nonautonomous, the criterion fails. There exist examples where the systems are stable, yet the eigenvalues have real part with different or positive signs. Also for the unstable systems there exist examples where the matrices can have eigenvalues with strictly negative real part.
In this thesis we examine the instability of linear nonautonomous systems of differential equations,... (More) - For an autonomous system of linear differential equations we are able to determine stability and instability with classical criteria, by looking at the eigenvalues. If the system is stable, all the eigenvalues have negative real part and if the system is unstable, there exist at least one eigenvalue with positive real part.
However, if it were to be nonautonomous, the criterion fails. There exist examples where the systems are stable, yet the eigenvalues have real part with different or positive signs. Also for the unstable systems there exist examples where the matrices can have eigenvalues with strictly negative real part.
In this thesis we examine the instability of linear nonautonomous systems of differential equations, following the article of Josić and Rosenbaum $\cite{1}$. They discuss a unified method for constructing two dimensional examples which we'll review and attempt to generalize to higher dimensions. (Less) - Popular Abstract (Swedish)
- Differentialekvationer är en matematisk modell som används för att beskriva olika förändringsprocesser och en central fråga inom detta ämne är om system av differentialekvationer är stabila eller instabila. Ett vanligt förekommande exempel för att illustrera detta är att titta på en pendel som hänger rakt ner. Skulle man putta till pendeln så kommer den till sist hitta tillbaka till sitt utgångsläge, rakt ner som den hängde innan knuffen, ett så kallat stabilt system. Om man istället vänder på pendelen, håller den upp och ned och knuffar till den, då kommer pendelen inte kunna hitta tillbaka till sitt utgångsläge. Den faller istället runt och detta kallar vi då ett instabilt system. Med detta exemplet kan man förstå att ett stabilt system... (More)
- Differentialekvationer är en matematisk modell som används för att beskriva olika förändringsprocesser och en central fråga inom detta ämne är om system av differentialekvationer är stabila eller instabila. Ett vanligt förekommande exempel för att illustrera detta är att titta på en pendel som hänger rakt ner. Skulle man putta till pendeln så kommer den till sist hitta tillbaka till sitt utgångsläge, rakt ner som den hängde innan knuffen, ett så kallat stabilt system. Om man istället vänder på pendelen, håller den upp och ned och knuffar till den, då kommer pendelen inte kunna hitta tillbaka till sitt utgångsläge. Den faller istället runt och detta kallar vi då ett instabilt system. Med detta exemplet kan man förstå att ett stabilt system inte störs av små rubbningar, men det gör däremot ett instabilt system.
När man arbetar med autonoma linjära system av differentialekvationer, där systemet ej beror på en tidsvariabel, kan man undersöka stabiliteten genom att titta på egenvärdena. Om egenvärdena till den beskrivande matrisen i systemet har strikt negativa realdelar så är systemet stabilt. Om däremot endast ett eller fler egenvärden skulle ha en strikt positiv realdel så är systemet instabilt.
När ett system beror på en tidsvariabel så kallas detta för ett ickeautonomt system. Det kan till exempel handla om att pendeln utsätts för en tidsberoende yttre kraft, vilket gör att även system som ska vara stabila, enligt stabilitetsteorin, kan bli känsliga för små rubbningar. Därav säger vi att stabilitetsegenskapen har blivit påverkad. Det har då visat sig att kriterierna för stabilitet i de autonoma fallen inte kan appliceras på de ickeautonoma fallen eftersom det finns exempel med instabila system där matrisen i fråga har strikt negativa egenvärden och vice versa.
I detta arbetet undersöks metoder för att konstruera exempel på hur vi kan bestämma instabilitet hos ickeautonoma linjära system av differentialekvationer trots egenvärden med negativ realdel. Vi undersöker först fallet då systemet av differentialekvationer är tvådimensionellt bestående av en tidsberoende matris. Sedan kommer vi övergå till det mer allmänna fallet när systemet är tredimensionellt eller högre. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
http://lup.lub.lu.se/student-papers/record/9001855
- author
- Riesbeck, Jenny LU
- supervisor
-
- Erik Wahlén LU
- organization
- course
- MATK11 20182
- year
- 2020
- type
- M2 - Bachelor Degree
- subject
- publication/series
- Bachelor's Thesis Mathematical Sciences 2020:K1
- report number
- LUNFMA-4093-2020
- ISSN
- 1654-6229
- other publication id
- 2020:K1
- language
- English
- id
- 9001855
- date added to LUP
- 2020-09-07 15:39:00
- date last changed
- 2020-09-07 15:39:00
@misc{9001855,
abstract = {{For an autonomous system of linear differential equations we are able to determine stability and instability with classical criteria, by looking at the eigenvalues. If the system is stable, all the eigenvalues have negative real part and if the system is unstable, there exist at least one eigenvalue with positive real part.
However, if it were to be nonautonomous, the criterion fails. There exist examples where the systems are stable, yet the eigenvalues have real part with different or positive signs. Also for the unstable systems there exist examples where the matrices can have eigenvalues with strictly negative real part.
In this thesis we examine the instability of linear nonautonomous systems of differential equations, following the article of Josić and Rosenbaum $\cite{1}$. They discuss a unified method for constructing two dimensional examples which we'll review and attempt to generalize to higher dimensions.}},
author = {{Riesbeck, Jenny}},
issn = {{1654-6229}},
language = {{eng}},
note = {{Student Paper}},
series = {{Bachelor's Thesis Mathematical Sciences 2020:K1}},
title = {{Systems of linear nonautonomous differential equations - Instability and eigenvalues with negative real part}},
year = {{2020}},
}