Monte Carlo Integration: A Comparison to Numerical Quadrature
(2021) In Bachelor's Theses in Mathematical Sciences NUMK11 20211Mathematics (Faculty of Sciences)
Centre for Mathematical Sciences
- Abstract
- Integrals are present everywhere in science, and their computation an emphasis in education. When methods of exact computation fail, a great variety of methods of approximation can step in. This project is interested in the Monte Carlo integration methods, an approach, where the integral is approximated based on the Law of Large Numbers. These methods are compared to the methods of numerical quadrature and tested on implementations, with the goal of seeing whether Monte Carlo integration could be a competitor for numerical quadrature in three and four dimensions. The comparison is made in terms of convergence, by looking at the n-th minimal error of an asymptotically optimal algorithm of each method. This shows that numerical quadrature... (More)
- Integrals are present everywhere in science, and their computation an emphasis in education. When methods of exact computation fail, a great variety of methods of approximation can step in. This project is interested in the Monte Carlo integration methods, an approach, where the integral is approximated based on the Law of Large Numbers. These methods are compared to the methods of numerical quadrature and tested on implementations, with the goal of seeing whether Monte Carlo integration could be a competitor for numerical quadrature in three and four dimensions. The comparison is made in terms of convergence, by looking at the n-th minimal error of an asymptotically optimal algorithm of each method. This shows that numerical quadrature methods have a smaller n-th minimal error for specific sets of functions in one dimension, but for sets of multivariable functions, whose smoothness are small compared to their dimension, Monte Carlo integration is a better pick. (Less)
- Popular Abstract (Swedish)
- Det var faktiskt för ungefär 80 år sedan, när matematiker som jobbade med att utveckla kärnvapen myntade begreppet för först gången. I grund och botten, använder Monte Carlo metoder slumpmässiga värden för att lösa problem. I det här projektet är det specifikt integrationsproblem.
Under ens matematikstudier, kommer vem som helst med ett litet intresse för matematik att stöta på integraler redan i gymnasiet. På universitetsnivå handlar en stor del av första året om att lära sig hur man beräknar integraler för hand. Men i verkligheten är beräkningar för hand inte alltid att föredra eller ens möjliga. När det här är fallet, tar vi datorn till hjälp för att beräkna ungefärliga lösningar till integralen. Olika områden inom matematik, i det... (More) - Det var faktiskt för ungefär 80 år sedan, när matematiker som jobbade med att utveckla kärnvapen myntade begreppet för först gången. I grund och botten, använder Monte Carlo metoder slumpmässiga värden för att lösa problem. I det här projektet är det specifikt integrationsproblem.
Under ens matematikstudier, kommer vem som helst med ett litet intresse för matematik att stöta på integraler redan i gymnasiet. På universitetsnivå handlar en stor del av första året om att lära sig hur man beräknar integraler för hand. Men i verkligheten är beräkningar för hand inte alltid att föredra eller ens möjliga. När det här är fallet, tar vi datorn till hjälp för att beräkna ungefärliga lösningar till integralen. Olika områden inom matematik, i det här fallet numerisk analyis och statistik, erbjuder olika metoder. När man är specialiserad inom ett område når ens kunskaper ofta inte mer än grundnivån i andra områden. Föreställ dig att du är en turist i ett annat land. Som turist besöker du de mest berömda platserna och tar del av de mest populära upplevelserna, men de flesta av oss kommer aldrig dyka djupare in i kulturen. Det är ungefär så en student från numerisk analys känner när den läser en kurs inom statistik.
Det här projet kommer att försöka sig på just en sådan djupdykning. Med en grund i numerisk analys så är standard verktyget för att uppskatta integraler numerisk kvadratur. Det vilar dock en förbannelse över metoden: The curse of dimensionality. När man integrerar i höger dimensioner, så blir resultatet för felaktiga för att motivera en högre beräkningskostnad. Det verkar uppenbart att fråga sig själv om det finns ett bättre alternativ inom statistiken? Det är här Monte Carlo integration kommer in i bilden. Det här projektet kommer att försöka göra en direkt jämnförelse mellan Monte Carlo integration och numerisk kvadratur med målet att undersöka om Monte Carlo kan vara en metod som är mer lämpad för integration i två eller tre dimensioner.
Även om det är utom räckvid för detta projekt att få ett slutgiltig svar är det i alla fall en början. I enlighet med teorin som presenteras i projektet, är Monte Carlo integration en konkurrent till numerisk kvadratur i högre dimensioner. Men det visar sig att två eller tre dimensioner kan vara otillräcklig, eftersom båda metoderna producerar resultat med ungefär samma noggrannhet i testerna. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
http://lup.lub.lu.se/student-papers/record/9056983
- author
- Karlsson-Müller, Mirjam LU
- supervisor
- organization
- course
- NUMK11 20211
- year
- 2021
- type
- M2 - Bachelor Degree
- subject
- keywords
- Monte Carlo Methods, Approximation of Integrals, Numerical Quadrature, Curse of Dimensionality, Integrals, Monte Carlo
- publication/series
- Bachelor's Theses in Mathematical Sciences
- report number
- LUNFNA-4037-2021
- ISSN
- 1654-6229
- other publication id
- 2021:K30
- language
- English
- id
- 9056983
- date added to LUP
- 2022-02-02 13:43:27
- date last changed
- 2022-02-02 13:43:27
@misc{9056983,
abstract = {{Integrals are present everywhere in science, and their computation an emphasis in education. When methods of exact computation fail, a great variety of methods of approximation can step in. This project is interested in the Monte Carlo integration methods, an approach, where the integral is approximated based on the Law of Large Numbers. These methods are compared to the methods of numerical quadrature and tested on implementations, with the goal of seeing whether Monte Carlo integration could be a competitor for numerical quadrature in three and four dimensions. The comparison is made in terms of convergence, by looking at the n-th minimal error of an asymptotically optimal algorithm of each method. This shows that numerical quadrature methods have a smaller n-th minimal error for specific sets of functions in one dimension, but for sets of multivariable functions, whose smoothness are small compared to their dimension, Monte Carlo integration is a better pick.}},
author = {{Karlsson-Müller, Mirjam}},
issn = {{1654-6229}},
language = {{eng}},
note = {{Student Paper}},
series = {{Bachelor's Theses in Mathematical Sciences}},
title = {{Monte Carlo Integration: A Comparison to Numerical Quadrature}},
year = {{2021}},
}