Scheme Theory & Weak Mordell-Weil for Elliptic Curves Over Number Fields
(2021) In Bachelor's Theses in Mathematical Sciences MATK11 20211Mathematics (Faculty of Engineering)
Mathematics (Faculty of Sciences)
- Abstract
- We provide an introduction to scheme-theoretic algebraic geometry, which studies spaces that are in essence locally solutions to systems of polynomial equations, and prove the weak Mordell-Weil theorem. The weak Mordell-Weil theorem states that for an elliptic curve $E$ over a number field $K$, the quotient $E(K)/mE(K)$ is finite for all $m\geq 2$. The proof is adapted from a proof in the language of classical varieties, and uses some theorems from algebraic number theory (e.g. Hermite-Minkowski).
- Popular Abstract (Swedish)
- I många sammanhang är man intresserad av lösningar till ekvationer eller den geometriska strukturen av lösningarna till en mängd ekvationer, speciellt då det inte går att ange dem explicit. Även enkla exempel av detta finns: ekvationen $x^2+y^2=1$ definierar en cirkel, men det går inte att beskriva alla reella tal som löser den utan att man använder transcendentala funktioner. Algebraisk geometri handlar då om att försöka lära sig om den geometriska strukturen av lösningarna till (system av) sådana ekvationer, nämligen de som ges av polynom, med hjälp av verktyg från modern abstrakt algebra. Inom modern algebraisk geometri studerar man objekt som heter scheman. Scheman är geometriska rum som i princip definieras ``lokalt'' av lösningar... (More)
- I många sammanhang är man intresserad av lösningar till ekvationer eller den geometriska strukturen av lösningarna till en mängd ekvationer, speciellt då det inte går att ange dem explicit. Även enkla exempel av detta finns: ekvationen $x^2+y^2=1$ definierar en cirkel, men det går inte att beskriva alla reella tal som löser den utan att man använder transcendentala funktioner. Algebraisk geometri handlar då om att försöka lära sig om den geometriska strukturen av lösningarna till (system av) sådana ekvationer, nämligen de som ges av polynom, med hjälp av verktyg från modern abstrakt algebra. Inom modern algebraisk geometri studerar man objekt som heter scheman. Scheman är geometriska rum som i princip definieras ``lokalt'' av lösningar till polynomekvationer, vilket tillåter mycket flexibilitet inom de beteenden man kan fånga med dem.
Nära besläktat med algebraisk geometri är ett område som kallas aritmetisk geometri, vilket kan ses som korsningen mellan algebraisk geometri och talteori. Man är då främst intresserad av att lära sig om lösningar inom (generaliseringar av) heltalen eller rationella talen. Elliptiska kurvor (som har väldigt lite att göra med ellipser) är ofta bra exempel av scheman som är enkla nog att de går att studera men som är komplicerade nog att ha intressanta resultat. Ett mycket bemärkt sådant resultat är Mordell-Weil satsen, som angår gruppstrukturen av rationella punkterna på kurvan. En elliptisk kurva, vilket per definition ges av en ekvation $y^2=x^3+ax+b$, är speciell inom scheman eftersom den kommer med en regel, vilket man kallar en gruppregel, som låter en kombinera två punkter $P$ och $Q$ för att forma en punkt $P+Q$. Mordell-Weil satsen ger då en viss beskrivning av hur gruppstrukturen ser ut. Detta examensarbete angår en lite svagare version av Mordell--Weil satsen. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
http://lup.lub.lu.se/student-papers/record/9061112
- author
- Lidgren, Carl-Fredrik LU
- supervisor
-
- Oscar Marmon LU
- organization
- course
- MATK11 20211
- year
- 2021
- type
- M2 - Bachelor Degree
- subject
- keywords
- algebraic geometry, schemes, scheme theory, elliptic curves, Mordell-Weil, weak Mordell-Weil, algebraic number theory, arithmetic geometry, number theory, geometry
- publication/series
- Bachelor's Theses in Mathematical Sciences
- report number
- LUNFMA-4124-2021
- ISSN
- 1654-6229
- other publication id
- 2021:K34
- language
- English
- id
- 9061112
- date added to LUP
- 2021-09-14 14:07:20
- date last changed
- 2021-09-14 14:07:20
@misc{9061112, abstract = {{We provide an introduction to scheme-theoretic algebraic geometry, which studies spaces that are in essence locally solutions to systems of polynomial equations, and prove the weak Mordell-Weil theorem. The weak Mordell-Weil theorem states that for an elliptic curve $E$ over a number field $K$, the quotient $E(K)/mE(K)$ is finite for all $m\geq 2$. The proof is adapted from a proof in the language of classical varieties, and uses some theorems from algebraic number theory (e.g. Hermite-Minkowski).}}, author = {{Lidgren, Carl-Fredrik}}, issn = {{1654-6229}}, language = {{eng}}, note = {{Student Paper}}, series = {{Bachelor's Theses in Mathematical Sciences}}, title = {{Scheme Theory & Weak Mordell-Weil for Elliptic Curves Over Number Fields}}, year = {{2021}}, }