Skip to main content

LUP Student Papers

LUND UNIVERSITY LIBRARIES

Scheme Theory & Weak Mordell-Weil for Elliptic Curves Over Number Fields

Lidgren, Carl-Fredrik LU (2021) In Bachelor's Theses in Mathematical Sciences MATK11 20211
Mathematics (Faculty of Engineering)
Mathematics (Faculty of Sciences)
Abstract
We provide an introduction to scheme-theoretic algebraic geometry, which studies spaces that are in essence locally solutions to systems of polynomial equations, and prove the weak Mordell-Weil theorem. The weak Mordell-Weil theorem states that for an elliptic curve $E$ over a number field $K$, the quotient $E(K)/mE(K)$ is finite for all $m\geq 2$. The proof is adapted from a proof in the language of classical varieties, and uses some theorems from algebraic number theory (e.g. Hermite-Minkowski).
Popular Abstract (Swedish)
I många sammanhang är man intresserad av lösningar till ekvationer eller den geometriska strukturen av lösningarna till en mängd ekvationer, speciellt då det inte går att ange dem explicit. Även enkla exempel av detta finns: ekvationen $x^2+y^2=1$ definierar en cirkel, men det går inte att beskriva alla reella tal som löser den utan att man använder transcendentala funktioner. Algebraisk geometri handlar då om att försöka lära sig om den geometriska strukturen av lösningarna till (system av) sådana ekvationer, nämligen de som ges av polynom, med hjälp av verktyg från modern abstrakt algebra. Inom modern algebraisk geometri studerar man objekt som heter scheman. Scheman är geometriska rum som i princip definieras ``lokalt'' av lösningar... (More)
I många sammanhang är man intresserad av lösningar till ekvationer eller den geometriska strukturen av lösningarna till en mängd ekvationer, speciellt då det inte går att ange dem explicit. Även enkla exempel av detta finns: ekvationen $x^2+y^2=1$ definierar en cirkel, men det går inte att beskriva alla reella tal som löser den utan att man använder transcendentala funktioner. Algebraisk geometri handlar då om att försöka lära sig om den geometriska strukturen av lösningarna till (system av) sådana ekvationer, nämligen de som ges av polynom, med hjälp av verktyg från modern abstrakt algebra. Inom modern algebraisk geometri studerar man objekt som heter scheman. Scheman är geometriska rum som i princip definieras ``lokalt'' av lösningar till polynomekvationer, vilket tillåter mycket flexibilitet inom de beteenden man kan fånga med dem.

Nära besläktat med algebraisk geometri är ett område som kallas aritmetisk geometri, vilket kan ses som korsningen mellan algebraisk geometri och talteori. Man är då främst intresserad av att lära sig om lösningar inom (generaliseringar av) heltalen eller rationella talen. Elliptiska kurvor (som har väldigt lite att göra med ellipser) är ofta bra exempel av scheman som är enkla nog att de går att studera men som är komplicerade nog att ha intressanta resultat. Ett mycket bemärkt sådant resultat är Mordell-Weil satsen, som angår gruppstrukturen av rationella punkterna på kurvan. En elliptisk kurva, vilket per definition ges av en ekvation $y^2=x^3+ax+b$, är speciell inom scheman eftersom den kommer med en regel, vilket man kallar en gruppregel, som låter en kombinera två punkter $P$ och $Q$ för att forma en punkt $P+Q$. Mordell-Weil satsen ger då en viss beskrivning av hur gruppstrukturen ser ut. Detta examensarbete angår en lite svagare version av Mordell--Weil satsen. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
Lidgren, Carl-Fredrik LU
supervisor
organization
course
MATK11 20211
year
type
M2 - Bachelor Degree
subject
keywords
algebraic geometry, schemes, scheme theory, elliptic curves, Mordell-Weil, weak Mordell-Weil, algebraic number theory, arithmetic geometry, number theory, geometry
publication/series
Bachelor's Theses in Mathematical Sciences
report number
LUNFMA-4124-2021
ISSN
1654-6229
other publication id
2021:K34
language
English
id
9061112
date added to LUP
2021-09-14 14:07:20
date last changed
2021-09-14 14:07:20
@misc{9061112,
  abstract     = {{We provide an introduction to scheme-theoretic algebraic geometry, which studies spaces that are in essence locally solutions to systems of polynomial equations, and prove the weak Mordell-Weil theorem. The weak Mordell-Weil theorem states that for an elliptic curve $E$ over a number field $K$, the quotient $E(K)/mE(K)$ is finite for all $m\geq 2$. The proof is adapted from a proof in the language of classical varieties, and uses some theorems from algebraic number theory (e.g. Hermite-Minkowski).}},
  author       = {{Lidgren, Carl-Fredrik}},
  issn         = {{1654-6229}},
  language     = {{eng}},
  note         = {{Student Paper}},
  series       = {{Bachelor's Theses in Mathematical Sciences}},
  title        = {{Scheme Theory & Weak Mordell-Weil for Elliptic Curves Over Number Fields}},
  year         = {{2021}},
}