Gravity water waves over constant vorticity flows: from laminar flows to touching waves
(2023) In Master's Theses in Mathematical Sciences MATM03 20231Mathematics (Faculty of Sciences)
Centre for Mathematical Sciences
- Abstract
- In a recent paper, Hur and Wheeler proved the existence of periodic steady water waves over an infinitely deep, two-dimensional and constant vorticity flow and subject to gravity whose profile overhangs, among which, waves whose surface touches at a point, enclosing a bubble of air. We take this further, proving the existence of a continuous curve of water waves from a laminar flow up to a touching wave for fixed non-zero gravity. This implies the existence of a wave profile that is vertical at a point but not overhanging, which is referred to as a breaking wave. This allows us to study the behaviour of critical layers, which are points where the horizontal velocity vanishes, at locations where the wave profile is vertical. This applies to... (More)
- In a recent paper, Hur and Wheeler proved the existence of periodic steady water waves over an infinitely deep, two-dimensional and constant vorticity flow and subject to gravity whose profile overhangs, among which, waves whose surface touches at a point, enclosing a bubble of air. We take this further, proving the existence of a continuous curve of water waves from a laminar flow up to a touching wave for fixed non-zero gravity. This implies the existence of a wave profile that is vertical at a point but not overhanging, which is referred to as a breaking wave. This allows us to study the behaviour of critical layers, which are points where the horizontal velocity vanishes, at locations where the wave profile is vertical. This applies to both overhanging and breaking waves. We also extend our results regarding the continuous curve of water waves from a laminar flow up to a touching wave to finite but very large depth. We formulate our problem as a modified version of the Babenko equation. We then use methods from local bifurcation theory to construct solutions near the laminar flow and use a compactness argument to ensure the maps obtained from the different Implicit Function Theorems coincide. In the last Section, we extend our results to the finite depth case. To do this, we formulate the problem utilising the periodic Hilbert transform on a finite strip. Properties of this operator discovered by Constantin, Strauss and Varvaruca turn out instrumental for our purposes. (Less)
- Popular Abstract (Swedish)
- I denna uppsats studerar vi en matematisk modell av vattenvågor över djupt vatten. I synnerhet studerar vi vågor som färdas med konstant hastighet i en horisontell riktning och är likformiga i den vinkelräta horisontella riktningen. På grund av den matematiska svårigheten med den allmänna modellen är det vanligt att utgå från förenklade versioner av problemet. I denna uppsats, gör vi antaganden om att vätskan har konstant densitet, att det inte finns någon luftrörelse utanför vattnet, att det inte finns någon viskositet, att vorticiteten är konstant och att vätskan är oändligt djup.
Specifikt fokuserar vi på vågor som utvecklar en överhängande profil. Vårt huvudresultat visar att det finns en kontinuerlig kurva av lösningar mellan ett... (More) - I denna uppsats studerar vi en matematisk modell av vattenvågor över djupt vatten. I synnerhet studerar vi vågor som färdas med konstant hastighet i en horisontell riktning och är likformiga i den vinkelräta horisontella riktningen. På grund av den matematiska svårigheten med den allmänna modellen är det vanligt att utgå från förenklade versioner av problemet. I denna uppsats, gör vi antaganden om att vätskan har konstant densitet, att det inte finns någon luftrörelse utanför vattnet, att det inte finns någon viskositet, att vorticiteten är konstant och att vätskan är oändligt djup.
Specifikt fokuserar vi på vågor som utvecklar en överhängande profil. Vårt huvudresultat visar att det finns en kontinuerlig kurva av lösningar mellan ett laminärt flöde, det vill säga en vattenvåg vars yta är platt, och en vidrörande våg, det vill säga en vattenvåg vars yta vidrör sig själv i en punkt och som omsluter en luftbubbla i vätskan. Vi studerar också egenskaperna hos de punkter där flödet är rent vertikalt. I det sista avsnittet utvidgar vi våra resultat från fallet med oändligt djup till fallet med begränsat djup. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
http://lup.lub.lu.se/student-papers/record/9135526
- author
- Gonçalves Jorge Dias de Carvalho, Francisco LU
- supervisor
-
- Erik Wahlén LU
- Evgeniy Lokharu LU
- organization
- alternative title
- Vattenvågor över flöden med konstant vorticitet: från laminära flöden till vidrörande vågor
- course
- MATM03 20231
- year
- 2023
- type
- H2 - Master's Degree (Two Years)
- subject
- keywords
- Partial differential equations, Water waves, Euler equations, Free boundary problem, Bifurcation theory, Nonlinear functional analysis, Hilbert transform
- publication/series
- Master's Theses in Mathematical Sciences
- report number
- LUNFMA-3139-2023
- ISSN
- 1404-6342
- other publication id
- 2023:E65
- language
- English
- id
- 9135526
- date added to LUP
- 2023-09-25 13:45:11
- date last changed
- 2023-09-25 13:45:11
@misc{9135526,
abstract = {{In a recent paper, Hur and Wheeler proved the existence of periodic steady water waves over an infinitely deep, two-dimensional and constant vorticity flow and subject to gravity whose profile overhangs, among which, waves whose surface touches at a point, enclosing a bubble of air. We take this further, proving the existence of a continuous curve of water waves from a laminar flow up to a touching wave for fixed non-zero gravity. This implies the existence of a wave profile that is vertical at a point but not overhanging, which is referred to as a breaking wave. This allows us to study the behaviour of critical layers, which are points where the horizontal velocity vanishes, at locations where the wave profile is vertical. This applies to both overhanging and breaking waves. We also extend our results regarding the continuous curve of water waves from a laminar flow up to a touching wave to finite but very large depth. We formulate our problem as a modified version of the Babenko equation. We then use methods from local bifurcation theory to construct solutions near the laminar flow and use a compactness argument to ensure the maps obtained from the different Implicit Function Theorems coincide. In the last Section, we extend our results to the finite depth case. To do this, we formulate the problem utilising the periodic Hilbert transform on a finite strip. Properties of this operator discovered by Constantin, Strauss and Varvaruca turn out instrumental for our purposes.}},
author = {{Gonçalves Jorge Dias de Carvalho, Francisco}},
issn = {{1404-6342}},
language = {{eng}},
note = {{Student Paper}},
series = {{Master's Theses in Mathematical Sciences}},
title = {{Gravity water waves over constant vorticity flows: from laminar flows to touching waves}},
year = {{2023}},
}